Ayuda para pruebas: El span de cualquier lista de vectores en V es un subespacio de V.

Question

Tengo problemas para entender esta prueba.

Sea $U = ()$ el conjunto vacío, y definir span $(U) = 0 \subset V$ . Ahora dejemos que $U = (v_1 \cdot \cdot \cdot v_n)$ sea una lista de vectores en $V$ . Es decir $$span(U) = \sum ^n _{i=1} a_i v_i $$ si cada $a_i = 0$ tenemos el conjunto vacío, $0 \in V$ .

El siguiente paso de la prueba es dejar que $$u = \sum ^ n _{i=1} a_i v_i \ \ \ \ \ \ \ \ v = \sum ^n _{i=1} b_i v_i$$

Dónde $v,u$ son vectores. $u+v \in span(U)$ . Para cada $u = (a_{1} v_{1} + \cdot \cdot \cdot+ a_{i} v_{i})$ hay $au = (a)a_{1} v_{1} + \cdot \cdot \cdot+ (a)a_{i} v_{i}) \in span(U)$

Estoy bastante confuso con esto. ¿Cómo puede $u,v$ esté en el span de U, si el span de $U$ ¿es el conjunto vacío?

Tampoco entiendo el último paso, ¿cómo se multiplica $u$ por una media constante está en el intervalo de $U$ ?

Answer 1

Sea $U$ sea un conjunto de vectores: $U=\{v_1,v_2,\dots,v_n\}$ (supondremos que $U$ es finito para mayor claridad, pero estos conceptos son válidos para conjuntos infinitos). A continuación definimos el tramo de $U$ para ser el conjunto de todos los vectores que se pueden escribir como:

$$ \sum_{i=1}^n a_iv_i $$

donde el $a_i$ son escalares arbitrarios. Esta representación no tiene por qué ser única: por ejemplo, si $U=\left\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}\right\}$ then $\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}$ está en el tramo de $U$ porque:

$$ \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} $$

sino también:

$$ \begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}=5\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} $$

Si $U$ es el conjunto vacío entonces definimos el span de $U$ el conjunto $\{0\}$ porque facilita las cosas. Todos los demás conjuntos tienen $0$ en su span (¿Por qué?) y resulta que definir el span de $\{\}$ significa que se cumplen varios teoremas para todas las posibles $U$ que de otro modo sólo se habría mantenido para todos $U$ excepto el conjunto vacío. Pero no hay que preocuparse nunca por la extensión de $\{\}$ otra vez.

Lo que esto significa, sin embargo, es que el lapso de un conjunto $U$ es nunca vacío: debe contener siempre el vector cero $0$ .

Ahora, para demostrar que $\textrm{span} U$ es un subespacio de $V$ necesitamos comprobar que es cerrado bajo adición y multiplicación escalar. Esto es fácil. Sea $u$ y $v$ sean dos vectores arbitrarios en el tramo de $U$ y que $a$ sea una constante arbitraria. Dado que $u$ y $v$ están en el intervalo de $U$ se pueden escribir como:

$$ u=\sum_{i=1}^na_iv_i\hspace{24pt}v=\sum_{i=1}^nb_iv_i $$

donde el $a_i$ y el $b_i$ son una serie de escalares (que no tienen por qué ser únicos). Entonces $u+v$ viene dada por la suma:

$$ u+v=\sum_{i=1}^na_iv_i+\sum_{i=1}^nb_iv_i=\sum_{i=1}^n(a_i+b_i)v_i $$

Puesto que esto es de la forma deseada (Escribe $c_i=a_i+b_i$ . Entonces $u+v=\sum_{i=1}^nc_iv_i$ .), debe pertenecer al tramo de $U$ . Así que $\textrm{span} U$ se cierra por adición. Además, $au$ viene dado por lo siguiente:

$$ au=a\sum_{i=1}^na_iv_i=\sum_{i=1}^na\times a_iv_i $$

También tiene la forma deseada (Write $d_i=a\times a_i$ . Entonces $au=\sum_{i=1}^nd_iv_i$ .), por lo que es un miembro del tramo de $U$ . Así que $\textrm{span} U$ es cerrado bajo multiplicación escalar.

Estos dos hechos nos dicen que el lapso de $U$ es un subespacio de $V$ .

Answer 2

Ahora dejemos que $U = (v_1 \cdot \cdot \cdot v_n)$ sea una lista de vectores en $V$

El caso $U = \emptyset$ ya se hizo en la línea 1. Después de eso estamos trabajando con $U$ formado por un número finito de vectores.

Para la segunda pregunta, si $u$ está en el tramo de $U$ entonces

\begin{align} au &= a(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n) \\ &= (aa_1) v_1 + \cdots + (aa_n) v_n \end{align}

lo que significa que $au$ puede escribirse como una suma de "vector escalar de tiempos en $U$ "es decir, que $au$ también se encuentra en el tramo de $U$ .

Si eres pedante, la prueba sólo trata el caso de que $U$ es finito. Tal vez las "listas" se suponen en su libro. También tenga en cuenta que si todos $a_i$ son $0$ Nosotros no obtener el conjunto vacío sino el vector cero.