Cálculo de la integral $\int(x-ab)x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}}dx$

Question

¿Puede alguien justificarme por qué

$\int(x-ab)x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}}dx = -bx^ae^{-\frac{x}{b}}$ ?

WolframAlpha da la respuesta pero no explica por qué. Soy absolutamente nuevo en este tipo de integración. Gracias.

Answer 1

Pista: utilizando la regla del producto, diferencia $-bx^{a}e^{\frac{-x}{b}}$ . ¿Qué obtiene? En otras palabras, echa un vistazo a tu integrando. Expandiendo, encontramos:

$$(x-ab)x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}} = x^{a}e^{\frac{-x}{b}} - abx^{a-1}e^{-\frac{x}{b}}$$

Podemos entonces reescribir esto como:

$$(x-ab)x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}} = x^{a}\cdot(-b)\cdot\frac{d}{dx}[e^{\frac{-x}{b}}] + e^{\frac{-x}{b}}\cdot\frac{d}{dx}[-bx^{a}] = \frac{d}{x}[-bx^{a}e^{\frac{-x}{b}}]$$

(Espero que esto no parezca una respuesta simplista...) Intento que reconozcas que tu integrando se parece mucho a la derivada de alguna función $f(x)$ y calculando la integral de $f'(x)$ siempre es agradable! :) )

Answer 2

El lado derecho es la antiderivada del integrando. Por cierto ya que tienes una integral indefinida debe haber una constante de integración en el lado derecho.

Podemos expandirnos:

\begin{align} \int (x-ab)x^{a-1}e^{-\frac{x}{b}}\ \mathrm{d}x&=\int x^ae^{-\frac{x}{b}}\ \mathrm{d}x+\int ax^{a-1}(-be^{-\frac{x}{b}})\ \mathrm{d}x\\ &\equiv\mathcal{I}+\mathcal{II} \end{align} y utilizar la integración por partes para $\mathcal{II}$ \begin{equation} \mathcal{II}=-bx^ae^{-\frac{x}{b}}-\int x^ae^{-\frac{x}{b}}\ \mathrm{d}x+c \end{equation} donde c es la constante de integración. Entonces tenemos \begin{equation} \mathcal{I}+\mathcal{II}=-bx^ae^{-\frac{x}{b}}+c \end{equation} que es lo que es su lado derecho.

Por supuesto, si puedes identificar la antiderivada, que es a lo que intenta llegar la respuesta anterior a la mía, entonces obtienes el resultado directamente.

Answer 3

$$\int(x-ab)x^(a-1)e^{- \frac {x}{b}}=\int x^ae^{-\frac{x}{b}}dx-ab\int x^(a-1)e^{- \frac {x}{b}} $$

En el lado derecho se integra el primer integrando por partes con $e^{- \frac{x}{b}}$ como primera función y $x^a$ como segunda función para obtener

$$-x^abe^{-\frac {x}{b}}+ab\int x^(a-1)e^{- \frac {x}{b}}$$

Sustituyendo el valor del integrando anterior en la primera ecuación podemos eliminar el segundo integrando para obtener la respuesta requerida.