Está claro que un conductor sinusoidal en un medio homogéneo lineal independiente del tiempo producirá ondas sinusoidales. Todos los ejemplos de este tipo de ondas no disipativas en una dimensión parecen tener velocidad constante. ¿Es necesariamente así? (No asumo que se aplique la ecuación de ondas).
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Shasha.Zhu
Puntos
11
La velocidad del sonido $c(\omega)$ es una propiedad de un medio en condiciones específicas; si suponemos pequeñas oscilaciones en un medio homogéneo no disipativo, el hecho de que todas las ondas sonoras de una frecuencia dada se propaguen a la misma velocidad constante se deduce de la ecuación de ondas, que, aunque no se supone cierta en la pregunta, puede deducirse de la ecuación de Euler y de la ecuación de continuidad.
He aquí una justificación más rigurosa:
Supongamos que el medio es de densidad constante $\rho_0$ y presión $p_0$ el sonido se propaga como una fluctuación de presión y densidad tal que $$p=p_0+\delta p(\mathbf{x},t);\quad \rho=\rho_0+\delta\rho(\mathbf{x},t).$$
Suponiendo que el movimiento de la onda es adiabático, a entropía constante $S$ tenemos $$\delta p=\frac{\partial p}{\partial \rho}\bigg|_S\delta \rho.$$
La ecuación de continuidad es $$\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0\implies\frac{\partial}{\partial t}\delta \rho+\rho_0\nabla\cdot\mathbf{v}=0,$$ donde hemos despreciado el término de segundo orden $\mathbf{v}\cdot\nabla\delta\rho$ .
La ecuación de Euler puede linealizarse como $$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}+\frac{\nabla p}{\rho}=0\implies\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}+\frac{\nabla p}{\rho_0}=0.$$ Combinando estas tres ecuaciones y definiendo el potencial de velocidad $\phi$ tal que $\mathbf{v}=\nabla\phi$ tenemos $$\frac{\partial^2\phi}{\partial t^2}-\frac{\partial p}{\partial \rho}\Bigg|_S\frac{\partial^2\phi}{\partial x^2}=0.$$ Esta es la ecuación de onda con velocidad $c=\sqrt{\partial p/\partial\rho|_S}$ ¡! Por lo tanto, las perturbaciones de esta forma, que son lo que se obtendría con una fuerza motriz sinusoidal, debe siguen la ecuación de ondas, y por lo tanto se propagarán con esta velocidad constante.
