Considere $\mathbb{R}$ como grupo bajo adición. Supongamos que $G$ es un subgrupo de $\mathbb{R}$ que es maximal respecto a la propiedad de que $1\not\in G$ . Demuestre que existe un único número primo $p$ tal que $p\in G$ .
Mi intento:
Supongamos que hay dos números primos diferentes $p,p'\in G$ . Entonces $1 = pm+p'n\in G$ (para algunos $m,n\in\mathbb{Z}$ Bézout).
Por tanto, si existe tal número primo, entonces es necesariamente único. Pero, ¿cómo demuestro que existe? Esta pregunta se da en un curso de lógica (de hecho, tuve que demostrar la existencia del subgrupo $G$ como arriba usando el Lemma de Zorn), así que no creo que tenga que usar complicados hechos de álgebra.
El subgrupo $G$ es infinito, ya que, por ejemplo, $2\mathbb{Z}$ cumple esta propiedad y $G$ es máxima (por lo que $G\ge 2\mathbb{Z})$ . Son $p\mathbb{Z}, p$ primos, los únicos subgrupos que satisfacen esta propiedad? En ese caso, siempre hay un único primo $p$ en cada $p\mathbb{Z}$ , lo que demuestra la afirmación.
Gracias.
