Estabilidad sin métodos de Lyapunov

Question

He estado teniendo algunos problemas tratando de resolver un problema que aparece en el libro im siguiendo, por lo que cualquier ayuda sería muy apreciada.

Defn. Un punto fijo $x_{0}$ es asintóticamente estable si es estable y (1) si hay un barrio $U$ s.t. $x_{0} \in U$ y $|\phi(t,x)-x_{0} | \rightarrow 0$ como $t \rightarrow \infty$ .

Problema. deje $\dot x = x - y - x(x^{2}+y^{2}) + \frac{xy}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ y $\dot y = x + y - y(x^{2}+y^{2}) - \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$ . Tengo que demostrar que $(1,0)$ no es estable aunque satisfaga (1) .

Mi solución . Primero, cambio las coordenadas cartesianas por coordenadas polares. Entonces nuestro nuevo sistema es $\dot r = r-r^{3}$ y $\dot \theta = 2sin^{2}(\theta/2)$ . El punto que estamos estudiando sigue siendo el mismo después de la transformación, $(r,\theta)=(1,0)$ . Ahora empiezan mis problemas, he intentado aplicar el teorema de linealización y tenemos que nuestra Matriz Jacobiana será

\begin{bmatrix}1-3r^{2}&0\\0&2sin(\theta/2)cos(\theta/2)\end{bmatrix}

y evaluando $(1,0)$

\begin{bmatrix}-2&0\\0&0\end{bmatrix}

entonces sus valores propios son $\lambda_{1,2}=-2,0$ y esto implica que esto no es bueno por mi análisis porque no podemos decir nada ( ¿Verdad? ). Y si pudiéramos decir que es inestable por este análisis, no he sido capaz de demostrar que (1) retenciones.

La otra manera que creo que podríamos probar esto es por definición directamente, pero como no pude encontrar el flujo para la ODE no puedo probar las definiciones.

Así que si me podéis ayudar con ello estaré más que encantado.

Muchas gracias de antemano, se lo agradezco mucho. <3

Answer 1

Supongo que su cambio de coordenadas está bien definido. No lo he comprobado, pero es algo que realmente se debe hacer cuando se utiliza el cambio de coordenadas. ¿Puedes escribir aquí la transformación que has utilizado?

Recordemos la definición de estabilidad de un punto p:

$\forall \epsilon>0 , \exists \delta>0$ s.t. $\forall x_0\in B_{\delta}(p), \phi(t, x_o) \in B_{\epsilon}(p)$ para siempre $t>0$ .

Aquí abajo escribiré simbólicamente la idea de que no importa lo cerca que empieces de tu equilibrio, puedes elegir un $\epsilon$ bola que no contiene el flujo (se puede pensar en esto como un definición de inestabilidad ):

$\exists \epsilon>0 , \forall \delta>0$ $\exists x_0\in B_{\delta}(p), \phi(t, x_o) \notin B_{\epsilon}(p)$ durante algún tiempo $t>0$ .

Ahora, arregla $\epsilon=1/2$ , $p=(1,0)$ . Recuerda que si eliges un punto de la circunferencia con radio $1$ el flujo se mantiene en la circunferencia ya que $\dot{r}=0$ por lo que sólo nos interesa el $\theta$ dinámica.

Consideremos una bola genérica $B_{\delta}(p)$ . No importa cómo elijas este balón, siempre podrás encontrar un punto $x_0=(1, \theta_0) \in B_{\delta}(p)$ . (Le sugiero que busque una forma explícita de encontrar tal $x_0$ ).

Por lo tanto $\phi(t, x_0)$ tendrá la forma $(1, \theta(t))$ . El último paso consiste en demostrar que dicho flujo "sale" del $\epsilon$ -¡bola! Por ejemplo, podemos demostrar que en un tiempo finito el punto alcanzará el punto $(1, \pi/2 )$ que está claramente fuera de nuestro $\epsilon=1/2$ -bola.

¿Cómo lo demostramos?

1. $\theta(t)$ es monótona no decreciente ya que $sin^2(θ/2)\geq0$
2. $\dot{\theta}(t)\geq sin^2(θ_0/2)\ \forall \theta \in [\theta_0, \pi/2]$

Desde $\theta(t)$ es monótona no decreciente, más bien (a) irá al infinito o (b) tendrá un límite finito $\tilde{\theta} $ . En el caso (a) de que haya terminado, saldrá definitivamente de su $\epsilon$ -bola.

El caso (b) requiere un pequeño argumento. Aquí afirmamos que $\tilde{\theta} > \pi/2$ .

Supongamos (por contradicción) $\tilde{\theta}\leq\pi/2$ . Entonces $\theta(t) \in [\theta_0, \tilde{\theta}]\ \forall t>0$ .

Recordando 2. :

$\dot{\theta}(t)\geq sin^2(θ_0/2) \implies \theta(t) \geq \theta_0 + sin^2(\theta_0)t$

La última desigualdad es claramente una contradicción: $\theta$ crece sin límites, en contra de la afirmación inicial de que $\theta(t)$ tenía un límite finito.

Observación: En la última prueba por contradicción no demostramos que no existe un límite finito para $\theta(t)$ sino que este límite no puede ser inferior a $\pi/2$ . De hecho, se puede demostrar que $\theta$ converge a $2\pi$ . Como ejercicio puedes intentar demostrar este hecho con un argumento de contradicción similar. Es un argumento común que se utiliza (por ejemplo) para demostrar la estabilidad asintótica de un equilibrio utilizando funciones de Lyapunov.

Para la prueba de estabilidad, podemos demostrar que dado cualquier punto en cualquier bola delta alrededor de $p$ la solución convergerá a (1,0). De hecho, podemos demostrar que $\theta$ va a $2\pi$ simplemente adaptando el argumento anterior. Para la convergencia del radio, considérese que para $r<1$ $r(t)$ es monótona creciente y acotada desde arriba. El límite es claramente $r=1$ . Un resultado análogo es para $r>1$ . En realidad la función es impar, por lo que el flujo es simétrico.

Answer 2

Asumo que su transformación es correcta.

Si mira

$$\dot{r}=r(1-r^2)=r(1-r)(1+r).$$

Puede identificar tres valores para $r$ que conducen a una derivada evanescente de $r$ . Para $r<-1$ la derivada es positiva. En $-1<r<0$ la derivada es negativa. En $0<r<1$ la derivada es positiva y para $1<r$ la derivada es negativa. Por lo tanto, en el $r=1$ coordenada parecemos ser asintóticamente estables.

Ahora, utiliza la segunda ecuación y haz la misma resonancia. Tenga en cuenta que es muy probable que tengamos un ciclo límite $r=1$ . Lo que explica el $0$ valor propio en las ecuaciones linealizadas. Compruebe si toma la derivada de $1=x^2+y^2$ que se obtiene una declaración verdadera. Si es así, se puede concluir que el círculo es realmente un ciclo límite.