Normalizador explícito de la subálgebra de Cartan SU(3)

Question

El normalizador $N(\mathfrak{h})$ de la subálgebra de Cartan $\mathfrak{h}$ de $\mathfrak{su}(3)$ se define como $$N=\left\{ x \in SU(3)\;|\; x^\dagger\mathfrak{h}x \in \mathfrak{h}\right\}$$ Me gustaría saber explícitamente cómo es este subgrupo; por ejemplo, en términos de la exponenciación de los generadores de $\mathfrak{su}(3)$ en base Gell-Mann, donde $\mathfrak{h}= \mathrm{Span}\{\lambda_3,\lambda_8\}$ . Claramente $e^{i\mathfrak{h}}\subset N(\mathfrak{h})$ ¿Hay algo más?

A menudo veo en la literatura cómo $N(\mathfrak{h})/C(\mathfrak{h})$ es el grupo de permutación discreta $S_3$ o el grupo de Weyl $W(SU(3))$ donde $$C(\mathfrak{h}) =\left\{ x \in SU(3)\;|\; x^\dagger h x = h, \quad \forall h \in \mathfrak{h}\right\}$$ es el centralizador. Como todos los elementos de la subálgebra de Cartan conmutan entre sí por definición, de nuevo claramente $e^{i\mathfrak{h}}\subset C(\mathfrak{h})$ . Esto me hace preguntarme si $N(\mathfrak{h})$ es en realidad $e^{i\mathfrak{h}}$ además de algunos elementos discretos ..

Por último, incluiré aquí la aplicación que tengo en mente para mis fines. Considere 2 general (8 componente) $\mathfrak{su}(3)$ vectores $r=r^i \lambda^i$ y $s=s^i \lambda^i$ donde el $\lambda^i$ son las bases de Gell-Mann. Quiero ver cuántas direcciones independientes puedo eliminar mediante la acción $$r\rightarrow x^\dagger r x, \quad s\rightarrow x^\dagger s x, \quad \mathrm{for \; some} \; x\in SU(3) .$$ Si empiezo por centrarme en $r$ se sabe que se puede hacer de modo que $x^\dagger r x \in \mathfrak{h}$ eliminando así 6 componentes. Para no estropear esto, sin dejar de intentar eliminar componentes de $s$ la libertad residual en la transformación se reduce precisamente a $$r\rightarrow x'^\dagger r x', \quad s\rightarrow x'^\dagger s x', \quad\mathrm{for \; some} \; x'\in N(\mathfrak{h}).$$ De ahí mi interés por este subgrupo.

Answer 1

Reproducido de mi comentario Por favor, hágamelo saber si no responde a la pregunta.

Para elegir $\mathfrak h$ (como subálgebra diagonal de Cartan en $\mathfrak{su}(3)$ ), tenemos que $C = \operatorname C_{\operatorname{SU}(3)}(\mathfrak h)$ es el toro diagonal en $\operatorname{SU}(3)$ que es igual a $e^{i\mathfrak h}$ y que $\operatorname N_{\operatorname{SU}(3)}(\mathfrak h)$ es generado por $C$ y las matrices de permutación (que son unitarias). (EDIT: Como @Rudyard señala en el comentarios la mitad de las matrices de permutación son unitarias pero tienen determinante $-1$ por lo que hay que cambiar el signo de la entrada correspondiente. Esto introduce una ambigüedad de 2 torsiones, pero en general no se puede hacer nada mejor; el hecho de que siempre se pueda hacer esto bien se denomina "elevación de Tits". Véase ¿Podemos realizar el grupo de Weyl como un subgrupo? y el artículo de Tits Normalizadores de tallas I enlazado allí -lamentablemente nunca hubo un II- para más detalles).