Tengo problemas para comprender intuitivamente por qué un subespacio necesita tener el vector cero. Entiendo que para satisfacer los axiomas el vector cero es necesario, como: "un vector $v$ es un elemento de un subespacio, entonces $-v$ debe ser también y $v+(-v) = 0$ "pero no tengo problemas para entender las propiedades de un subespacio, sino para comprender intuitivamente el vector cero. Por ejemplo, ¿por qué una línea que no pasa por el origen no se considera un subespacio de $\Bbb R^n$ ? Sé que esa línea no satisfaría el vector cero, pero ¿no seguiría satisfaciendo esa línea los axiomas de suma y escalar? ¿Puede alguien darme un ejemplo explícito de por qué el vector cero debe estar contenido?
Respuesta
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Si un subespacio no es vacío y cumple el axioma de la multiplicación escalar, entonces el vector cero sale "gratis", ya que es cualquier vector distinto de cero multiplicado por el escalar cero. (En particular, cualquier conjunto no vacío que no contenga cero no puede ser cerrado bajo la multiplicación escalar. Es más difícil, pero no tanto, demostrar que las rectas/planos que no pasan por el origen tampoco se cierran por adición).
Además, si lo hace no Si insistimos en el axioma del vector cero, descubriremos que todos los demás axiomas son condiciones para los vectores del espacio -por ejemplo, que cada par de vectores tenga una suma en el espacio- y, por tanto, se cumplen trivialmente en un conjunto sin vectores. Así pues, el axioma del vector cero es el único axioma que obliga a que un (sub)espacio vectorial no sea vacío.
Por lo tanto, un (sub)espacio vectorial que contenga un vector cero es equivalente (en presencia de los demás axiomas) a que contenga cualquier vector. Dado que el vector cero suele ser el más fácil de encontrar, es conveniente utilizar su existencia como axioma.
