Hace siete años, yo preguntó sobre formas cerradas para la suma binomial $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k\,\binom {2n}n}$$
Se han obtenido algunos resultados alternativos. Hasta cierto $k$ parece que puede expresarse sorprendentemente mediante un log seno integral ,
$$\rm{Ls}_n\Big(\frac{\pi}3\Big) = \int_0^{\pi/3}\Big(\ln\big(2\sin\tfrac{\theta}{2}\big)\Big)^{n-1}\,d\theta$$
y la función zeta $\zeta(s)$ . Por lo tanto,
$$\begin{aligned} \frac\pi2\,\rm{Ls}_1\Big(\frac{\pi}3\Big) &=\;3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2\,\binom {2n}n} =\zeta(2) \\ \frac\pi2\,\rm{Ls}_2\Big(\frac{\pi}3\Big) &=-\frac34\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3\,\binom {2n}n} -\zeta(3) =-\frac\pi2\,\rm{Cl}_2\Big(\frac\pi3\Big)\\ \frac{6\pi}{35}\,\rm{Ls}_3\Big(\frac{\pi}3\Big) &=\frac{36}{17}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4\,\binom {2n}n} =\zeta(4)\\ \frac{2^3\pi}{3!}\rm{Ls}_4\Big(\frac{\pi}3\Big) &=-3\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^5\,\binom {2n}n} -19\zeta(5)-2\zeta(2)\zeta(3) \\ 32\pi\,\rm{Ls}_5\Big(\frac{\pi}3\Big) &=144 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6\,\binom {2n}n} +2029\zeta(6)+192\zeta(3)^2 \\ \frac{2^8\pi}{5!}\rm{Ls}_6\Big(\frac{\pi}3\Big) &=-24 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^7\,\binom {2n}n} -493\zeta(7)-48\zeta(2)\zeta(5)-164\zeta(3)\zeta(4) \\ \end{aligned}$$
donde $\rm{Cl}_2\big(\tfrac\pi3\big)$ es Constante de Gieseking y otros $\rm{Ls}_{2n}\big(\tfrac\pi3\big)$ se puede encontrar aquí . Los encontré utilizando la subrutina de relaciones de enteros de Mathematica. Desafortunadamente, o el patrón se detiene en este punto, o hay otras variables implicadas. Observe que Borwein y Straub también encontró ,
$$\pi\,\rm{Ls}_7\Big(\frac{\pi}3\Big) =-135\pi\,\rm{Gl}_{6,1}\Big(\frac{\pi}{3}\Big)+\Big(2152-\tfrac{103}{864}\Big)\zeta(8)+45\zeta(2)\zeta(3)^2\quad$$
donde,
$$\rm{Gl}_{m,1}\Big(\frac{\pi}3\Big) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sum_{k=1}^{n-1}\frac1k}{n^m}\sin\Big(\frac{n\,\pi}3\Big)= \sum_{n=1}^\infty \frac{H_{n-1}}{n^m}\sin\Big(\frac{n\,\pi}3\Big)$$
con número armónico $\rm{H}_n$ .
Q: ¿Podemos elevar esta tabla y encontrar una relación entre la integral del seno logarítmico $\rm{Ls}_7\big(\frac{\pi}3\big)$ y sumas binomiales?
$\color{blue}{Update:}$ Dada la integral logarítmica generalizada,
$$\rm{Ls}_m^{(k)}(\sigma) = \int_0^{\sigma}x^k\Big(\ln\big(2\sin\tfrac{x}{2}\big)\Big)^{m-1-k}\,dx$$
donde el puesto era sólo el caso $k=0$ . Si utilizamos $k=1$ en su lugar,
$$\rm{Ls}_m^{(1)}(\sigma) = \int_0^{\sigma} x\,\Big(\ln\big(2\sin\tfrac{x}{2}\big)\Big)^{m-2}\,dx$$
este documento menciona que Borwein et al encontraron,
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^m\,\binom {2n}n} = \frac{(-2)^{\color{red}{m-2}}}{(m-2)!}\int_0^{\pi/3} x\,\Big(\ln\big(2\sin\tfrac{x}{2}\big)\Big)^{m-2}\rm{dx}$$
Nota: El periódico cometió un error tipográfico. (Corregido en rojo.)
