Realización de un subgrupo de un grupo de Lie como subgrupo estabilizador

Question

Sea $G$ un grupo de Lie semisimple compacto, $H$ un subgrupo de $G$ . ¿Es siempre posible encontrar una representación irreducible $R$ de $G$ tal que el estabilizador de un $x\in R$ es "localmente isomorfo" a $H$ ? Sólo me interesa el caso en que $H$ es un subgrupo continuo, y "localmente isomorfo" significa que tiene la misma álgebra de Lie.

Si el resultado no es cierto, ¿cuál sería el contraejemplo más sencillo? ¿Qué pasa con los resultados más débiles cuando $R$ no es necesario que sea irreducible, o cuando se permiten estabilizadores de un conjunto finito y no de un solo elemento?

Permítanme dar un ejemplo de lo que tengo en mente. Sólo me interesa el caso en que ambos $G$ et $H$ son grupos de Lie compactos de dimensión finita. Como ejemplo representativo tomemos $G=SU(3)$ y dos subgrupos $H_1=SU(2)$ , $H_2=SU(2)\times U(1)$ (todos los grupos sobre $\mathbb{C}$ ). Puedo realizar $H_1$ como estabilizador de $x=(0,0,1)^t$ en la representación fundamental de $SU(3)$ . También puedo realizar $H_2$ como estabilizador de $x=diag(1,1,-2)$ en la representación adjunta de $SU(3)$ . ¿Puedo hacerlo siempre? ¿Cuál sería un algoritmo para construir la representación dado el conjunto de generadores de $G$ que generan $H$ ?

Actualización: las respuestas a continuación muestran que la respuesta es sí, si se permiten representaciones reducibles (lo que no me importa). Queda el problema de cómo construir $R$ de forma concreta y sencilla, dada la lista de generadores de $H$ en $G$ . Tales construcciones pueden extraerse también de las pruebas que figuran a continuación, aunque no parecen elementales (para mí).

Answer 1

Necesitas $H$ a cerrar. El teorema de Mostow-Palais (1,2,3) da entonces lo que quieres -- con "igual" en lugar de "localmente isomorfo", pero con una representación posiblemente reducible. No conozco condiciones que garanticen que la representación pueda elegirse irreducible.

(1): http://en.wikipedia.org/wiki/Mostow -Teorema de Palais

(2): http://books.google.com/books?id=oCO0xOzNLhAC&pg=PA373

(3): http://books.google.com/books?id=yqbocEpFdyQC&pg=PA104

Answer 2

Aunque no es tan fácil encontrarlo en Internet, hay un libro de texto elemental que trata la teoría básica en Representaciones de grupos Lie compactos de Brocker y tom Dieck (GTM 98, Springer, 1985).

1) Como señalan al principio del libro, el grupo isotrópico $H$ de un punto $v$ debe ser cerrado en un grupo topológico arbitrario $G$ actuando continuamente: aquí $H$ es la imagen inversa de $v$ bajo el mapa orbital (continuo) $g \mapsto g \cdot v$ .

2) Como corolario del teorema de Peter-Weyl (utilizando funciones representativas), derivan fácilmente en III, (4.6) para cualquier grupo de Lie compacto $G$ (no necesariamente semisimple): Todo subgrupo cerrado $H$ de $G$ aparece como el grupo isotrópico de un elemento de algún $G$ -módulo.

3) Desgraciadamente, como toda esta teoría es un tanto abstracta, no parece arrojar luz sobre su pregunta acerca de encontrar un irreducible representación. Sin embargo, en este caso existe una reducibilidad completa de todas las representaciones (necesariamente de dimensión finita), que suelen estudiarse en el entorno esencialmente equivalente (complejizado) del álgebra de Lie. Así que si hay un contraejemplo, probablemente sería mejor encontrarlo allí. Parece difícil de calcular directamente con elementos de grupo y representaciones de grupo, pero, por ejemplo, Willem de Graaf ha trabajado mucho con algoritmos informáticos para álgebras de Lie reales y complejas.

P.D. Aunque Dan Mostow (que acaba de cumplir 90 años) formó parte de mi comité de tesis, no creo que sea necesario entrar en sus resultados más generales sobre acciones de grupo en variedades.