He estado trabajando en la demostración de la ecuación térmica del teorema del índice de Atiyah-Singer. Mi pregunta es ¿cuál es la motivación para la definición del índice de un operador? Sé que existe el isomorfismo entre las clases de homotopía de mapas de un espacio topológico compacto al espacio de operadores de Fredholm y el primer grupo K del espacio topológico dado por el mapa índice, pero ¿hay un ejemplo más sencillo de por qué queremos estudiar el índice?
Respuestas
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Normalmente lo que uno quiere saber es la dimensión del núcleo de un operador y no su índice. El problema es que la dimensión del núcleo no es una función continua del operador, por lo que es muy difícil de calcular en términos de datos topológicos. El punto clave sobre el índice es que es una función continua del operador, lo que hace que sea mucho más fácil de calcular. Y es una modificación del núcleo, así que con un poco de suerte se puede calcular el núcleo a partir de él.
Anne-Laure
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Yo diría que la razón básica por la que el índice de un operador es un número interesante es que uno puede preocuparse por la dimensión del espacio vectorial de soluciones suaves de la ecuación diferencial correspondiente. El teorema del índice sirve para describir este número en términos del símbolo del operador (en una formulación, usando cohomología, en otra, usando $K$ -teoría). Desde mi punto de vista, las observaciones sobre el tipo de homotopía del espacio de operadores de Fredholm tienen cabida para explicar por qué el teorema es cierto, no por qué es interesante o útil.
PabloG
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Permítanme interpretar la pregunta como: "Está claro por qué uno estaría interesado en (la dimensión de) el núcleo de un operador diferencial dado, pero ¿por qué demonios estaría uno interesado en la diferencia entre la dimensión del kernel y la del cokernel"?
Supongo que una respuesta es que se puede cambiar la dimensión del (co)núcleo de un operador de Fredholm añadiendo un operador compacto, mientras que es la diferencia (es decir, el índice) lo que permanece invariante. Esto facilita el cálculo del índice, ya que podemos deformar el operador sin cambiar su índice por otro operador para el que el cálculo sea más sencillo.
Además, en muchos casos interesantes se puede demostrar que cokernel desaparece, en cuyo caso el índice coincide con la dimensión del núcleo, que es lo que buscábamos desde el principio.
Uno de mis ejemplos favoritos es el cálculo de la dimensión del espacio de moduli de los instantones, como en el artículo clásico de Atiyah, Hitchin y Singer sobre Deformaciones de instantones .
