pregunta sobre la prueba de la raíz cuadrada de los números naturales

Question

¿Podría alguien ayudarme a demostrar que para $t \in \mathbb{N}$ , $\sqrt{t} \in \mathbb{Q} $ sólo si $\sqrt{t} \in \mathbb{N}$

Answer 1

Hay una prueba clásica sobre la irracionalidad de $\sqrt{2}$ . Deberías poder modificarlo para conseguir este resultado. Inténtalo y quizá puedas responder a tu propia pregunta.

Answer 2

La forma más sencilla de hacerlo es tomar un racional, escrito en términos mínimos, y elevarlo al cuadrado. En particular, $$\left(\frac{p}{q}\right)^2=\frac{p^2}{q^2}$$ donde la fracción de la derecha también está en términos más bajos, ya que $\gcd(p^2,q^2)=\gcd(p,q)^2=1$ . Sin embargo, cualquier número entero debe tener un denominador de $1$ por lo que su raíz cuadrada debe tener denominador $q$ satisfaciendo $q^2=1$ y, por tanto, ser un entero, lo que implica que los racionales no enteros son cuadrados de racionales no enteros, por lo que los únicos enteros con raíces cuadradas racionales tienen raíces cuadradas enteras.

Answer 3

Imaginemos que tenemos $\frac{m^2}{n^2}=x,\quad x,m,n\in\mathbb{N},n\neq 1, GCD(m,n)=1$ .

Ahora sabemos que hay un primo $p$ para que aparezca en la factorización de $x$ con exponente impar $a$ - si no $x$ sería un cuadrado perfecto. Digamos que $x=p^\alpha r$ .

Ahora sabemos que $m^2=xn=p^{a}rn^2$ .

De aquí obtenemos $p|m$ (¿por qué?).

Desde $GCD(m,n)=1$ también sabemos que $p$ no es un factor primo de $n$ .

Ahora echa un vistazo a la factorización en primos del lado izquierdo y del lado derecho. ¿Cuál es la potencia de $p$ en el lado izquierdo? ¿Es uniforme? ¿Y en el lado derecho?

Answer 4

Dado que en este problema sólo intervienen cosas relacionadas con la multiplicación y no con la suma, debería resultar útil examinar la factorización en primos de las cosas.

(podemos extender la factorización en primos a los números racionales: p. ej. $4/6$ tiene factorización prima $2 \cdot 3^{-1}$ )