Jacobiano en dinámica hamiltoniana

Question

Intentaba demostrar que para un tiempo infinitesimal la evolución en la dinámica hamiltoniana clásica preserva el volumen mostrando que el siguiente jacobiano $$\left|\frac{\partial(q(t),p(t))}{\partial(q(t_{0}),p(t_{0}))}\right| = +1$$ Al ampliar $q(t)$ , $p(t)$ como, $$q(t)=q(t_{0})+\dot{q(t)}\Big|_{t_{0}} \delta t+O(\delta t^2)$$ $$p(t)=p(t_{0})+\dot{p(t)}\Big|_{t_{0}} \delta t+O(\delta t^2)$$ utilizando la ecuación de Hamilton podríamos decir $$q(t)=q(t_{0})+\frac{\partial H}{\partial p}\Bigg|_{t_{0}} \delta t+O(\delta t^2)$$ $$p(t)=p(t_{0})-\frac{\partial H}{\partial q}\Bigg|_{t_{0}} \delta t+O(\delta t^2)$$ De la definición de matriz jacobiana obtengo la siguiente matriz $$\left|\begin{array}{cc} 1+\partial_{q}\partial_{p}H|_{t_{0}}\delta t+O(\delta t^2) & \partial^2 _{p}H|_{t_{0}} \delta t+O(\delta t^2)\\ -\partial^2 _{q}H|_{t_{0}} \delta t+O(\delta t^2) & 1-\partial_{p}\partial_{q}H|_{t_{0}}\delta t + O(\delta t^2) \end{array}\right|$$ ¿Hay alguna otra forma de entenderlo intuitivamente?

Answer 1

En vista de su expansión, la derivada temporal del determinante jacobiano, si se evalúa exactamente en $t=t_0$ es $$\frac{\partial J}{\partial t}|_{t_0} =\lim_{\delta t \to 0 }\frac{J(t_0+ \delta t) - J(t_0)}{\delta t}= \lim_{\delta t \to 0 }\frac{\left(1 + O(\delta t^2)\right)-1}{\delta t} =0$$ donde utilicé el teorema de Schwarz sobre segundas derivadas al calcular el determinante de la matriz jacobiana que expandiste, de modo que los términos de orden $\delta t$ cancelar (Estoy suponiendo que la función hamiltoniana es $C^2$ ). A continuación, observe que $$J(t) = J(t_0) J(t-t_0)$$ y también $$J(t+\delta t) = J(t_0+ \delta t) J(t-t_0),$$ de modo que, la derivada a un valor genérico del tiempo $t$ es $$\frac{\partial J}{\partial t} =\lim_{\delta t \to 0 }\frac{J(t_0+ \delta t) - J(t_0)}{\delta t} J(t-t_0) = \frac{\partial J}{\partial t}|_{t_0}J(t-t_0)= 0 J(t-t_0)=0.$$ Por lo tanto, $J$ es constante en el tiempo para coordenadas canónicas fijas. En cuanto a $t=t_0$ , de nuevo debido a su expansión, $J(t_0)= 1$ , $J(t)$ lleva ese valor a todas partes y para siempre.