Sea $G$ sea un grupo y que $g_1,\dots,g_n$ elementos de $G$ . Si digo que $\{g_1,\dots,g_n\}$ genera libremente un subgrupo libre de $G$ , digamos $H$ ¿quiero decir que el rango de $H=n$ o debo considerar el caso cuando dos elementos son iguales (por ejemplo $g_1=g_2$ ) y, por tanto, el rango de $H<n$ Gracias.
Respuesta
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En sentido estricto, lo que has escrito significa que el conjunto $\{g_1,\dots,g_n\}$ genera libremente $H$ por lo que el rango de $H$ es el número de elementos (distintos) de ese conjunto, que pueden o no ser $n$ . Sin embargo, es frecuente que la gente abuse del lenguaje y diga lo que usted escribió cuando en realidad quiere decir que además el $g_i$ deben ser todos distintos. En el contexto, no suele haber demasiado riesgo de confusión y, en la práctica, si ves a alguien escribir esto, debes juzgar por ti mismo qué interpretación tendría más sentido en el contexto. En realidad, no conozco una forma sucinta y completamente estándar de expresar este último significado; yo podría escribirlo como "los elementos ". $(g_1,\dots,g_n)$ generar libremente un subgrupo", escribiéndolo como una tupla para subrayar que en realidad estás diciendo que el mapa $\{1,\dots,n\}\to H$ enviando $i$ a $g_i$ satisface la propiedad universal de hacer $H$ un grupo libre en el conjunto $\{1,\dots,n\}$ . Lo que realmente ocurre es que una colección de (potenciales) "generadores libres de un grupo $H$ "no debe considerarse sólo un subconjunto de $H$ sino como un conjunto junto con un mapa a $H$ (y si el grupo realmente está generado libremente por un mapa, el mapa debe ser inyectivo).
(Esta dificultad terminológica no se limita a este contexto. Por ejemplo, una cuestión similar se plantea con bastante frecuencia cuando se habla de independencia lineal: si $v\in V$ es un elemento distinto de cero de un espacio vectorial, entonces el conjunto $\{v,v\}$ es linealmente independiente (ya que en realidad sólo tiene un elemento), pero la tupla $(v,v)$ no lo es).
