¿cuántas líneas de dividir el perímetro y el área en la mitad

Question

¿Cuántas líneas de dividir el perímetro y el área de un triángulo con lados $3$, $4$, y $5$ en la mitad?

Answer 1

• Si(asunción) de la línea pasa a través de cualquiera de los vértices, entonces debe ser la mediana (que pasa a través del centroide), que es la única línea posible (que pasa a través de los vértices y) que divide el triángulo en dos triángulo de área igual a y desde todos los lados son desiguales, la línea nunca dividir el perímetro de la mitad. Esto demuestra que la línea de no pase a través de cualquiera de los vértices.

• Otra utilidad es el teorema de la Haider del teorema: $${\bf Haider's Theorem:} \text{ For any triangle ABC and any line $\ell$, $\ell$ divides$\\$ the area and the perimeter of $\Delta$ ABC in the same$\\$ ratio if and only if it passes through the triangle's incenter.}$$

• Que nos llame a una línea que, simultáneamente, se divide el área y el perímetro de una dividiendo en dos la línea. Cada triángulo tiene exactamente una, dos, o tres dividiendo en dos líneas; no hay otros valores son posibles. No es demasiado duro para probar esta afirmación

• Para obtener una solución de ver el presente y para el recurso solía ver esto.

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Answer 2

Si la línea pasa a través de los lados de longitud $3$$4$, y su intersección con el lado de la $3$ $x$ unidades desde el ángulo agudo en ese lado, a continuación, la línea se corta un triángulo rectángulo de base $3-x$ y la altura de la $3+x$. El área de este triángulo es $\frac 12 (9-x^2) \leq \frac 92.$ La configuración de este igual a $3$, tendríamos $x = \pm\sqrt3,$ pero la construcción de esta línea requiere de $0\leq x\leq 1,$ así que no hay tal línea que corta el triángulo del área en la mitad.

Si la línea pasa a través de los lados de longitud $4$$5$, y su intersección con el lado de la $4$ $x$ unidades desde el ángulo agudo en ese lado, a continuación, se corta un triángulo con base $x$ y la altura de la $\frac 35 (6-x)$. El área de este triángulo es $\frac 12 \cdot x \cdot \frac 35 (6-x) = \frac{3}{10} x(6-x)$, que toma un valor máximo $\frac{27}{10}<3$ $x=3,$ así que no hay tal línea puede cortar el triángulo del área en la mitad.

El otro caso es una línea a través de los lados $3$$5$. Deje que la línea se cruzan de lado a $3$ a un punto de $x$ unidades desde el ángulo derecho. A continuación, se corta un triángulo de base $3-x$ y la altura de la $\frac 45 (3+x),$ que tiene de área $\frac 25 (9-x^2).$ La configuración de este igual a $3$, nos encontramos con que $x = \pm\sqrt{\frac32},$ pero $0\leq x\leq 2$ por la construcción de la línea, así que tenemos una solución, $x = \sqrt{\frac32}.$

Answer 3

Considere el triángulo $\mathrm {OAB}$. Vamos a la línea de $l$ ser la línea que se supone dividir el área y permieter en la mitad.

Inicial perímetro=$12$, área inicial=$6$. Deje $\angle OBA=\theta$

Llegamos $3$ escenarios. Estoy discutiendo aquí.

$l$ intersecta $AB$ punto $Q$ $OB$ punto $P$. Deje $PB$=a, $BQ$=b

$\therefore a+b=6\; (\mathrm {half\;of\;12})$

De AM-GM de la desigualdad, $a+b \ge 2\sqrt{ab} \implies ab \le9$

Área de($\triangle PBQ$)= $\frac12absin\theta=3\; (\mathrm {half\; of\; 6})$

$\therefore \frac12(ab)\frac45=3 \implies ab=7.5 \lt 9$

Así, esta línea es posible.

Consulte con los otros dos escenarios donde la línea cruza los otros dos lados. Vea si usted recibe cualquier contradiciendo las condiciones en $a$$b$.