$e^{|\sin x|}+e^{-|\sin x|}+4a=0$ tendrá exactamente cuatro soluciones diferentes en $[0,2\pi]$

Question

$e^{|\sin x|}+e^{-|\sin x|}+4a=0$ tendrá exactamente cuatro soluciones diferentes en $[0,2\pi]$ si

(A) $a\in\bigg[\frac{-e}{4},\frac{-1}{4}\bigg]$

(B) $a\in\bigg[\frac{-1-e^2}{4e},\infty\bigg)$

(C) $a\in \mathbb R$

(D) Ninguna de ellas

Mi enfoque:

Sea $e^{|\sin x|}=t \in[1,e]$

Por tanto, la ecuación se transforma en $t^2+4at+1=0$

La ecuación anterior debe tener dos soluciones distintas en $[1,e]$

Para dos soluciones distintas debemos tener $f(1)\geq0$ , $f(e) \geq0$ , $4a^2-4 \gt0$ et $1\lt -2a \lt e$

donde $f(t) = t^2+4at+1$

¿Es correcto mi planteamiento?

Answer 1

El número de $x$ satisfaciendo $|\sin x|=s$ et $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ es $$\begin{cases}3&\text{if $\ s=0$} \\4&\text{if $\ s\in (0,1)$} \\2&\text{if $\ s=1$} \\0&\text{if $\ s\in(-\infty,0)\cup(1,\infty)$}\end{cases}$$ (véase el gráfico de $y=|\sin x|\ (0\leqslant x\leqslant 2\pi)$ .)

Por lo tanto, el número de $x$ satisfaciendo $e^{|\sin x|}=t$ et $0\leqslant x\leqslant 2\pi$ es $$\begin{cases}3&\text{if $\ t=1$} \\4&\text{if $\ t\in (1,e)$} \\2&\text{if $\ t=e$} \\0&\text{if $\ t\in(-\infty,1)\cup(e,\infty)$}\end{cases}$$

Sea $t=e^{|\sin x|}$ . Entonces, como escribiste, nuestra ecuación puede escribirse como

$$t^2+4at+1=0\tag1$$

Supongamos que $a\geqslant 0$ . Entonces, puesto que $t\gt 0$ LHS de $(1)$ es positivo. Esto es una contradicción. Entonces, $a\lt 0$ .

Además, considerando el discriminante, se tiene $(4a)^2-4\geqslant 0$ es decir $a\in \bigg(-\infty,-\dfrac 12\bigg]\cup \bigg[\dfrac 12,\infty\bigg)$ .

Por lo tanto, es necesario que $a\leqslant -\dfrac 12$ .

Sea $p=-2a-\sqrt{4a^2-1},q=-2a+\sqrt{4a^2-1}$ sean las soluciones de $(1)$ .

• Caso 1 : $a=-\dfrac 12$

  Entonces, $p=q=1$ Así que $(1)$ tiene exactamente tres soluciones diferentes en $[0,2\pi]$ .

• Caso 2 : $a\lt -\dfrac 12$

  Entonces, puesto que $p\lt 1\lt q$ (porque el LHS de $(1)$ es negativo cuando $t=1$ ), $(1)$ tiene exactamente cuatro soluciones diferentes en $[0,2\pi]$ sólo si $$\begin{align}q\lt e&\iff -2a+\sqrt{4a^2-1}\lt e \\\\&\iff \sqrt{4a^2-1}\lt e+2a \\\\&\iff e+2a\gt 0\quad\text{and}\quad 4a^2-1\lt (e+2a)^2 \\\\&\iff -\frac{e}{2}\lt a\quad\text{and}\quad \frac{-e^2-1}{4e}\lt a \\\\&\iff \dfrac{-1 - e^2}{4 e}<a\ \ \bigg(\lt -\frac 12\bigg)\end{align}$$

Como resultado, $(1)$ tiene exactamente cuatro soluciones diferentes en $[0,2\pi]$ sólo si $$a\in \bigg(\frac{-1 - e^2}{4 e},-\frac 12\bigg)$$

Por lo tanto, la respuesta correcta es $\color{red}{(D)}$ .

Answer 2

Diga $s=|\sin x|$ entonces $s\in [0,1]$ y necesitamos encontrar para qué $s$ tiene $-4a = e^s+e^{-s}$ dos soluciones. Puesto que la función $f(s) = e^s+e^{-s}$ es par y aumenta para $s\geq 0$ vemos que $f_{\max} = f(1) = e+{1\over e}$ y $f_{\min} = f(0) = 2$ . Así que $$2<-4a\leq e+{1\over e}$$ ou $$-{1\over 2}>a\geq -{1+e^2\over 2e}$$ Desde $-{e\over 4}>-{1+e^2\over 2e}$ la respuesta es (A).