A menudo se dice que, en lugar de demostrar un gran teorema, el mayor sueño de un matemático es demostrar un gran lema. Algo como el lema del árbol de Konigs, o el lema de Yoneda, o realmente cualquier cosa de esta lista .
Cuando empezaba a aprender álgebra, uno de los lemas clave que nos enseñaban era Lema de Zorn . Su poder y utilidad eran casi mágicos. Sin embargo, no recuerdo la última vez que el lema de Zorn apareció en uno de mis trabajos (y eso que soy algebrista). Reflexionando sobre el porqué de esto, se me ocurrieron algunas razones, que enumero a continuación. No quiero perder a mi viejo amigo Zorn, así que mi pregunta es:
¿Cuáles son algunas de las razones para mantener (o, tal vez de acuerdo con mis pensamientos, abandonar) el lema de Zorn?
Editado para añadir : Uno de los propósitos de esta pregunta es saber si debería o no reescribir mis pruebas para utilizar el lema de Zorn, en lugar de mi práctica habitual de utilizar la recursividad transfinita, si hay una razón matemática para preferir uno sobre el otro. Espero que esto aclare el contenido matemático de esta pregunta.
Para motivar la discusión, permítanme dar un ejemplo de cómo enseñaría ahora a los no licenciados un resultado que me enseñaron utilizando el lema de Zorn.
Teorema : Todo espacio vectorial $V$ tiene una base.
Prueba : En primer lugar, fije una ordenación adecuada para $V$ . Recurriremos a la ordenación para decidir si mantenemos o descartamos elementos de $V$ . Supongamos que hemos llegado a un vector $v$ lo conservamos si es linealmente independiente de los vectores anteriormente conservados (es decir, si no se encuentra en su tramo); en caso contrario, lo descartamos. Si $B$ es el conjunto de vectores mantenidos vemos que es una base como sigue. Cualquier vector $v\in V$ está en el tramo de $B$ porque está en $B$ o en el ámbito de los vectores conservados anteriormente. Por otra parte, los elementos de $B$ son linealmente independientes porque una combinación no trivial $c_1 v_1 + \cdots +c_k v_k=0$ donde $v_1<v_2<\ldots<v_k$ et $c_k\neq 0$ puede reordenarse de la siguiente manera $v_k$ es una combinación lineal de los vectores anteriores, por lo que $v_k$ no puede pertenecer a $B$ después de todo. $\quad\square$
He aquí algunas de las ventajas que le veo a este tipo de prueba sobre el argumento habitual del lema de Zorn.
1. El uso de la elección se desvincula de las demás partes de la prueba.
Al aplicar el lema de Zorn, es difícil ver exactamente cómo se utiliza el axioma de elección para llegar a la conclusión de un elemento maximal. Una forma de visualizar su uso es que el lema de Zorn nos permite construir recursivamente una cadena maximal a través del poset. Esta cadena debe tener un elemento mayor. Sin embargo, esta construcción se oculta tras las palabras mágicas "Abracadabra Zornify".
¿Es un artefacto histórico que la elección se oculte de esta manera?
2. Podemos ver más fácilmente si utilizar o no un principio de elección.
En la prueba anterior, si $V$ ya es bien ordenable (sin AC), entonces no necesitamos utilizar nunca el axioma de elección.
3. El lema de Zorn no es más fácil que la recursión transfinita.
Cada parte de la recursividad transfinita ya ocurre (implícitamente) en la mayoría de los argumentos del lema de Zorn. El caso base de la recursividad corresponde, grosso modo, a demostrar que el poset no es vacío (es decir, que tiene algún punto de partida). El paso ordinal sucesor suele ocurrir al final; después de afirmar que existe algún elemento maximal del poset, demostramos que este elemento maximal tiene alguna propiedad reivindicada trabajando por contradicción, y luego pasamos a un elemento ligeramente mayor del poset (es decir, el siguiente sucesor). El paso ordinal límite se produce cuando demostramos que las cadenas tienen límites superiores.
4. El lema de Zorn a menudo incluye complicaciones innecesarias.
En la prueba que he dado anteriormente, no hay necesidad de definir un conjunto complicado, junto con una relación poset. Podemos utilizar la inducción fuerte, para evitar la diferenciación entre el cero, sucesor, y los pasos límite distinto de cero. No necesitamos combinar la contradicción al final con ningún paso sucesor; están completamente separados.
5. La recursividad transfinita es un principio más fundamental.
Como cuestión de pedagogía, ¿no deberíamos enseñar a los alumnos la inducción transfinita antes de enseñarles una versión de la misma que también se combina con AC, y que requiere la construcción de un poset complicado?
6. La recursividad transfinita se aplica a situaciones en las que el lema de Zorn no lo hace.
Por poner sólo un ejemplo: Hay algunas recursiones que continúan a lo largo de todos los ordinales (durante un tiempo de clase adecuado). La de Zorn requiere, como hipótesis, un final.
