Intuición tras los unitarios multiplicativos

Question

Unitario multiplicativo en un espacio de Hilbert $H$ es unitario $V: H \otimes H \to H\otimes H$ tal que la identidad pentágono $V_{[12]} V_{[13]}V_{[23]}= V_{[23]} V_{[12]}$ retenciones. Aquí se emplea la notación de numeración de tramos. Por ejemplo, $$V_{[12]}= V \otimes 1 \in B(H \otimes H \otimes H).$$

¿Hay alguna intuición detrás de esta identidad de pentágono? No puedo memorizar la identidad, pero la necesito a menudo (en el contexto de los grupos cuánticos), y creo que si tuviera alguna intuición podría memorizarla mejor.

Answer 1

Si $G$ es un grupo localmente compacto y $H=L^2(G)$ (para la medida de Haar invariante derecha), entonces $H\otimes H$ identifica de forma natural con $L^2(G\times G)$ y se puede considerar el llamado Kac-Takesaki operador $$ V:L^2(G\times G)\to L^2(G\times G) $$ definido por $$ (V\xi )(x, y)=\xi (xy, y),\quad \forall \xi \in L^2(G\times G) ,\quad \forall x, y\in G. $$ Se puede demostrar fácilmente que $V$ es unitario.

Observe que $V$ codifica la operación de multiplicación de $G$ por lo que puede verse como una encarnación del propio estructura de grupo de $G$ Tanto es así que $G$ puede recuperarse de $V$ .

Es fácil demostrar que ambos $V_{[12]} V_{[13]}V_{[23]}$ y $V_{[23]} V_{[12]}$ enviar la función integrable cuadrada $\xi $ en $G\times G\times G$ a la función $\eta $ dada por $$ \eta (x, y, z)=\xi (xyz, yz, z), $$ así que $V$ satisface la identidad del pentágono.

En $H$ es un espacio abstracto de Hilbert, y $V$ es un operador sobre $H\otimes H$ satisfaciendo la identidad del pentágono, se puede por tanto sospechar que algo parecido a un grupo debe estar en el fondo.

[1] Baaj, Saad; Skandalis, Georges , Unitarios multiplicativos y dualidad para productos cruzados de álgebras (C^*) Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 26, nº 4, 425-488 (1993). ZBL0804.46078 .

[2] Sotan, Piotr M.; Woronowicz, Stanisaw L. , De los unitarios multiplicativos a los grupos cuánticos. II J. Funct. Anal. 252, nº 1, 42-67 (2007). ZBL1134.46044 .