El radical Jacobson $\mathfrak{J}(G)$ de un grupo $G$ es definido por Reinhold Baer en [2] como la intersección de los subgrupos normales máximos de $G$ (como señala Baer la identidad $G = \mathfrak{J}(G)$ se cumple si y sólo si $G$ no tiene ningún subgrupo normal máximo). Su artículo seminal [2] fue escrito en alemán y no parece ser muy conocido. Contiene un montón de resultados elementales interesantes, algunos de los cuales han sido reproducidos varias veces por diferentes autores. He aquí una lista no exhaustiva.
- $\mathfrak{J}(G/\mathfrak{J}(G)) = 1$ .
- $\mathfrak{J}(G)$ es el conjunto de todos los elementos que pueden omitirse de cualquier conjunto que genere $G$ como un subgrupo normal, es decir, $\mathfrak{J}(G)$ es el conjunto de elementos $g \in G$ para cada $X \subset G$ , $\langle X, g \rangle^G = G$ implica $\langle X \rangle^G = G$ [2, Satz 3.1.d].
- Para dos grupos cualesquiera $A$ y $B$ tenemos $\mathfrak{J}(A \times B) = \mathfrak{J}(A) \times \mathfrak{J}(B)$ [2, Folgerung 3.4].
- Si $G$ es soluble, entonces $[G, G] \subset \mathfrak{J}(G)$ [2, Folgerung 2.10].
- Supongamos que $\mathfrak{J}(G) \neq G$ y que el conjunto de subgrupos normales de $G/\mathfrak{J}(G)$ que figuran en $[G/\mathfrak{J}(G), G/\mathfrak{J}(G)]$ cumple la condición mínima. Entonces un subconjunto genera $G$ como subgrupo normal si y sólo si su imagen genera $G/[G, G]$ [2, Satz 6.4], véase [5] para una generalización.
Por supuesto, $\mathfrak{J}(G)$ es un subgrupo característico de $G$ y no es difícil demostrar que $\mathfrak{J}(G)$ contiene el subgrupo Frattini de $G$ , siempre que todo cociente simple de $G$ tiene un subgrupo maximal (ver Corrección más abajo) .
Descubrí la definición del radical Jacobson/Baer $\mathfrak{J}(G)$ y algunas de sus propiedades elementales al estudiar dos generalizaciones de la conjetura Andrews-Curtis. Los autores de [7, 8] se refieren a $\mathfrak{J}(G)$ como el $N$ -Subgrupo de Frattini de $G$ y denotarlo por $W(G)$ . La carta $W$ primaria alude a la palabra "peso", es decir, el número mínimo $w(G)$ de generadores normales, tal como los definen los teóricos de los nudos, véase este post de MO para saber más sobre $w(G)$ . Pero también podría ser un (n) homenaje (inconsciente) a James Wiegold. En [5], el concepto de radical de Jacobson se generaliza a $\Omega$ -para los que se siguen cumpliendo los dos primeros puntos anteriores, así como algunas otras propiedades [7, Lemma 4.1]. Haciéndome eco del comentario de Geoff Robinson, en [7, Lemma 4.5] se demuestra que un grupo finito $G$ es perfecta si y sólo si $G/\mathfrak{J}(G)$ es el producto directo de grupos simples no abelianos. El uso de $\mathfrak{J}(G)$ es fundamental en la demostración de la conjetura finitaria de Andrews-Curtis [7] y sus mejoras cuantitativas [8].
En un preprint mío, hice esta humilde observación sobre los grupos finitamente generados: Cualesquiera dos $n$ -tuplas que generan $G$ como subgrupo normal pueden relacionarse mediante una secuencia finita de movimientos de Andrews-Curtis si se cumplen las dos condiciones siguientes.
- $n > w(G)$ ;
- $G/\mathfrak{J}(G)$ es abeliano, o finito, o producto directo de un número finito de grupos simples no abelianos.
Corrección de errores: Sea $G$ sea un grupo cualquiera y $M$ sea un subgrupo normal maximal de $G$ . Lemma 4 de [1] ( MR0122885 ) afirma que si $M$ está contenido en algún subgrupo maximal de $G$ entonces $M$ contiene el subgrupo Frattini $\Phi(G)$ de $G$ . Como resultado, $\Phi(G) \subset \mathfrak{J}(G)$ se cumple si todo cociente simple de $G$ tiene un subgrupo maximal, por ejemplo, $G$ está finitamente generada o $G$ es soluble.
La existencia o no existencia de un grupo simple sin subgrupos maximales era un problema sin resolver en 1970 cuando B. H. Neumann revisó [1]. Seguía siendo un problema abierto en 1974, ya que el problema análogo para un grupo simple cercano estaba sin resolver en ese momento, véase [3] ( MR0347986 ).
La existencia de un grupo simple incontable sin subgrupos maximales fue finalmente establecida por Shelah en 1980 [4]. La existencia de un grupo simple contable sin subgrupos maximales fue establecida por Ol′shanskiĭ en 1991 [6, Teorema 35.3]. Si $G$ es cualquiera de estos dos grupos simples infinitos, entonces tenemos $\Phi(G) = G$ y $\mathfrak{J}(G) = 1$ para que $\Phi(G) \not\subset \mathfrak{J}(G)$ .
[1] V. Dlab y V. Kořínek, "El subgrupo Frattini de un producto directo de grupos", 1960.
[2] R. Baer, "El rango reducido de un grupo", 1964.
[3] J. Riles, "The near Frattini subgroups of direct products of groups", 1974.
[4] S. Shelah, "On a problem of Kurosh, Jónsson groups, and applications", 1980.
[5] A. Rhemtulla, "Grupos de peso finito", 1981.
[6] A. Ol′shanskiĭ, "Geometry of defining relations in groups", 1991.
[7] A. Borovik, A. Lubotzky y A. Myasnikov, "The finitary Andrews-Curtis conjecture", 2005.
[8] R. Burns y D. Oancea, "Recalcitrance in groups II", 2012.
