Me encontré con una pregunta interesante que me mostró mi profesor, es la siguiente:
Investigación de un Universo alternativo:
Este Universo contiene tres dimensiones espaciales y una temporal, y el espacio puede describirse como un gran cuboide. Las longitudes de los lados del cuboide se denotan por $L_{x},L_{y}$ y $L_{z}$ su volumen es $V$ . En el Universo se prescriben condiciones de contorno cíclicas. El universo alternativo está lleno de un condensado de Bose-Einstein formado por átomos ultrafríos. El condensado se caracteriza por una función de onda compleja $\psi(r, t)$ . La dinámica de la función de onda se describe mediante la función Ecuación de Gross-Pitaevskii
$$\boxed{\mathrm i\hbar\frac{\partial{\psi(r,t)}}{\partial{t}}=\left(-~\frac{\hbar^2}{2m}\Delta-\mu\right)\psi(r,t)+g\psi^{*}(r,t)\psi(r,t)\psi(r,t)}$$
Dónde $m$ es la masa de los átomos ultrafríos, $\mu$ es el potencial químico y g es una constante que caracteriza las colisiones atómicas. El número de átomos condensados se denota por $N_{c}$ . La densidad local del condensado viene dada por el valor absoluto de la función de onda al cuadrado. Sea $c =\sqrt{\frac{gN_{c}}{mV}}$ denota un parámetro que tiene la dimensión de la velocidad y sea $\xi =\frac{\hbar}{mc}$ denotan otro parámetro, que es pequeño, y que tiene la dimensión de longitud.
El Universo alternativo está habitado por criaturas inteligentes y éstas viven en dos colonias, cuya distancia es grande. Los habitantes de las dos colonias se comunican creando pequeñas perturbaciones ondulatorias en el condensado, por lo demás homogéneo. Debido a las limitaciones de la tecnología moderadamente avanzada de las criaturas, sólo pueden crear ondas en el condensado, cuya longitud de onda es mucho mayor que la longitud $\xi$ .
En una de las colonias, los principales físicos de las criaturas discuten sobre la naturaleza fundamental de las leyes físicas de su mundo. Mientras Alice dice que el éter debería existir, Bob argumenta que la hipótesis del éter no es necesaria, porque su mundo es fundamentalmente invariante de Lorentz.
¿Quién tiene razón, Alice o Bob?
Para decidir quién tiene razón en la controversia, escribe la ecuación de las pequeñas perturbaciones de la función de onda compleja, y luego haz una ecuación de onda real a partir de esta ecuación compleja, que contendrá derivadas de orden superior a la compleja anterior. En esta ecuación, los parámetros $c$ y $\xi,$ que se introdujeron anteriormente. Analice esta ecuación desde la perspectiva del debate.
¿Cómo puedo resolver esta cuestión?
Mi intento:
He encontrado la solución de la ecuación de Gross-Pitaevskii y, por tanto, la densidad local del condensado. La estadística de Bose-Einstein nos dice que la ocupación del estado fundamental es ilimitada a medida que disminuye la energía del sistema. En los sistemas diluidos, esto puede lograrse reduciendo la temperatura del sistema por debajo de un valor crítico. $ T$ dado por $Tc$ tal que las partículas quieren estar en el estado más bajo. Para un gas libre de partículas no interactuantes en 3D, con una masa de partículas m, esta temperatura crítica viene dada por : $$\boxed{T_{c}=\frac{2(\pi)\hbar^{2}}{mk_{B}}\left(\frac{n(r,t)}{\zeta\left(\frac{3}{2}\right)}\right)^{\frac{2}{3}}}$$ Dónde $\zeta$ es el Función Zeta de Riemann y $\zeta\approx2.612$ Por debajo de esta temperatura se produciría la condensación de Bose-Einstein. Una partícula cuántica se esparce por una región del espacio en forma de paquete de ondas. Cuando la temperatura de un sistema disminuye, estos paquetes de ondas (cuyo tamaño típico viene dado por la longitud de onda de de Broglie) aumentan de longitud y empiezan a solaparse, comportándose como una onda de materia gigante. La longitud de onda térmica de de Broglie puede obtenerse igualando la energía cinética mecánica cuántica de las partículas libres, $E_{K} = \pi k_{B}T$ con la energía cinética en términos de momento, $E_\textrm{kinetic} = \frac{p^2}{2m}$ y utilizando la longitud de onda estándar de de Broglie $\lambda_{dB} = \frac{2\pi}{p}$ para obtener $$\boxed{_{dB} =\sqrt{\frac{2(\pi)\hbar^2}{mk_{B}T}}}$$
donde observamos $_{dB} \frac{1}{T}$ por lo que aumenta su longitud a medida que $T$ disminuye. Obsérvese que utilizando la relación anterior en términos de $$ we can write $ n^3 nT^{\frac{-3}{2} 2.612$.
A temperaturas T mucho menores que la temperatura crítica Tc, el BEC está bien descrito por la función de onda macroscópica $\psi=\psi(r,t)$ cuya evolución se rige por una ecuación de Schrödinger no lineal (NLSE) de campo medio autoconsistente conocida como ecuación de Gross-Pitaevskii. Si se considera un potencial de trampa armónico, la ecuación de una sola partícula se convierte en:
$$\boxed{i\hbar\frac{\partial{\psi(r,t)}}{\partial{t}}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta(\psi)+V(r)\psi+NU_{0}\mid{\psi^2}\mid\psi}\tag{1}$$
Dónde $r=(x,y,z)^{T}$ es el vector de coordenadas espaciales, $U_{0}=\frac{4(\pi)(\hbar^2)a}{m}$ con a, la dispersión de la onda s; y $$V(r)=\frac{m}{2}(\omega_{x}^{2}x^2+\omega_{y}y^2+\omega_{z}z^2)$$ es el potencial armónico de la trampa.
Multiplicar $(1)$ por $(\frac{1}{m\omega_{x}^2 a_{0}^{\frac{1}{2}}})$ y normalizando la función que obtuve:
$$\boxed{i\frac{\partial{\psi(r,t)}}{\partial{t}}=-\frac{1}{2}\Delta(\psi(r,t))+V(r)\psi+\beta\mid{\psi^2}\mid\psi(r,t)}\tag{2}$$
$\beta=\frac{4(\pi)aN}{a_{0}}$ . Aquí positivo/negativo corresponde al NLSE de desenfoque/enfoque, respectivamente.
Por lo tanto, $(2)$ es la densidad local, es decir $\frac{N_{c}}{V}=\frac{N_{c}}{L_{x}L_{y}L_{z}}$
Ahora, soy consciente de la solición oscura (soluciones oscuras oscilantes-arxiv), ¿debo utilizarlo junto con la introducción de perturbaciones? ¿Cómo escribo una ecuación para las pequeñas perturbaciones en términos de una función de onda compleja y luego tomo un valor real de la misma? Cualquier ayuda será profundamente valorada y apreciada.
