Creo que es más fácil tratar tus ejemplos que la cuestión general.
Teoría del campo de clases: Cuando enseño teoría de campos de clases, enseño los enunciados de los resultados, inicialmente en lenguaje clásico y luego en lenguaje idélico. Dedico mucho tiempo a discutir ejemplos, casos especiales y aplicaciones, como las leyes de reciprocidad clásicas, el teorema de Kronecker-Weber y CM de curvas elípticas. Mi objetivo es explicar qué es un campo de clases, qué es una extensión abeliana, por qué a priori son conceptos muy diferentes, pero que al final resultan ser lo mismo.
En cuanto a las pruebas, explico algunos argumentos, especialmente los que muestran cómo se puede hacer interactuar la cohomología de grupos con enunciados de la teoría algebraica clásica de números (como el teorema de la unidad de Dirichlet) para obtener una sorprendente cantidad de ventajas. (El tipo de temas que tengo en mente son los que clásicamente se conocen como teoría de géneros que conducen a la demostración de una de las dos desigualdades principales de la teoría de campos de clases). La última vez que lo enseñé, también esbocé las pruebas de los hechos básicos sobre $L$ -siguiendo la tesis de Tate, y las utilizamos para demostrar la otra desigualdad.
Mi objetivo al seleccionar los temas (aparte de las limitaciones de tiempo) es ilustrar las ideas importantes, centrándome en las que se repiten a lo largo de la teoría.
Para un autodidacta, algunos de los antecedentes que estoy comentando pueden encontrarse en la obra de Franz Lemmermeyer libro en línea ; otras partes están en el libro de Cox. Algunos de ellos son difíciles de encontrar en la literatura estándar de libros de texto.
Si te sientes razonablemente cómodo con la cohomología de grupos, entonces deberías leer el capítulo de Washington en Cornell--Silverman--Stevens. Los teoremas de dualidad y de la característica de Euler que enuncia allí (en gran parte debidos a Tate) son consecuencias (no triviales) de la teoría de campos de clases, pero si los asumes, puedes volver a comprender la mayor parte de la teoría de campos de clases. Ser capaz de llevar a cabo este ejercicio es una medida razonable del dominio de los aspectos algebraicos de la teoría de campos de clases, y es probablemente más valioso que aprender todos los tecnicismos de la demostración de la teoría de campos de clases en sí.
Resolución: En un momento dado, en términos de las medidas combinadas de importancia de su enunciado y (al menos supuesta) dificultad de su demostración, el teorema de Hironoka fue un punto extremo en la geometría algebraica. Recuerdo que cuando era estudiante de posgrado, a mediados de los noventa, había un miembro de la facultad que era legendario por sus habilidades técnicas, y uno de los rumores sobre él era que había leído la demostración de Hironaka.
Esto cambió mucho después de que de Jong demostrara su teorema sobre las alteraciones. El argumento de De Jong era mucho más accesible, y más evidentemente geométrico, que el de Hironaka, y (o al menos esa fue mi impresión) dio lugar a una nueva oleada de trabajos sobre todo tipo de cuestiones relacionadas con la resolución de singularidades, la degeneración semiestable y la factorización de mapas birracionales. La prueba de Hironaka fue revisada y reelaborada de una forma mucho más accesible.
Ahora hay un libro maravilloso de Kollar explicando la resolución, y es muy geométrico y muy accesible. Desde luego, no exijo a mis alumnos que lo lean, pero se lo he recomendado a los que tienen más inclinaciones geométricas.
La cuestión es que la naturaleza de la prueba de resolución, y la forma en que encaja en el resto de la geometría algebraica, ha cambiado mucho en los últimos quince años aproximadamente. Con el libro de Kollar disponible, uno puede aprender las ideas de resolución como parte de una educación general en geometría algebraica, y esto aumenta enormemente el valor de aprender la demostración.
Una realización (debida a Grothendieck, creo) es que la resolución podría utilizarse como caja negra para demostrar otras cosas (como su resultado sobre la igualdad de la cohomología algebraica y analítica de De Rham para todas las variedades lisas). Este tipo de aplicación alcanza su punto álgido en la obra de Deligne teoría mixta de Hodge . Cuando yo era estudiante, y el propio argumento de Hironaka seguía rodeado de misterio para la mayoría de nosotros, ésta fue la forma en que llegamos a comprender la resolución y su significado geométrico. Sigue siendo una de las aplicaciones fundamentales, y ahora que tenemos nuevos conocimientos sobre la resolución y su demostración en general, existe la esperanza de que podamos ampliar este tipo de aplicación a otros contextos.
Conclusiones generales: Probablemente no haya conclusiones específicas. Una lección general que extraigo de mi propia experiencia en el aprendizaje de las matemáticas y en la enseñanza a estudiantes es que es bueno centrarse en aprender argumentos, técnicas y ejemplos que tengan importancia más allá de su contexto inmediato. A medida que vayas trabajando en un tema de investigación concreto, tu enfoque también tendrá que ser cada vez más específico, pero hasta que no sepas exactamente en qué dirección concreta debes centrarte, creo que lo dicho en la frase anterior es un consejo bastante acertado. (Véase también mi consejo sobre el aprendizaje de la geometría aritmética. en este hilo .)
Añadido en respuesta a la edición del OP: Los ejemplos posteriores que das son de dificultad muy divergente. Los teoremas básicos del álgebra homológica son esencialmente ejercicios (hay un conocido comentario de Lang en este sentido), y fáciles de aprender. La prueba de que la homología singular satisface los axiomas de Eilenberg-Steenrod también es bastante sencilla (o al menos la idea clave, la aproximación simplicial, se comprende fácilmente). Tratar la homología singular y el álgebra homológica como cajas negras es más o menos innecesario, y puesto que las pruebas están estrechamente alineadas con los enunciados básicos de la teoría, creo que también sería un error.
Los resultados en teoría de grupos que mencionas son de otra naturaleza. También aparecen con menos frecuencia, pero cuando lo hacen, suelen tratarse como cajas negras. Sin embargo, también se sabe que la gente se esfuerza por evitar apelar a la clasificación de grupos finitos simples, debido a su naturaleza de caja negra y a las persistentes dudas sobre la fiabilidad de lo que hay dentro de la caja.
