Centro de rotación y trayectoria de un cuerpo rígido en un plano con fuerzas *fijas* aplicadas.

Question

Esta es mi primera pregunta, así que disculpen si mi formato es un poco raro.

Dado un cuerpo rígido en 2D al que se le aplican fuerzas de tal forma que el ángulo que forma el vector fuerza con la superficie del objeto permanece constante (pensemos en una nave espacial con cohetes fijos acoplados a ella), tengo problemas para trazar su trayectoria y el ángulo que ha girado respecto a la posición inicial durante un cierto periodo de tiempo.

La fuerza neta de los cohetes aplicada sobre el centro de masa de este objeto es fácil de calcular sobre una referencia local solitaria a dicho objeto, pero dada la existencia de par externo, es una referencia poseída por aceleración angular, lo que me inquieta ya que no sé si esto requiere alguna consideración extra a la hora de trasladarlo a una referencia general.

Determinar el centro de rotación también es difícil, ya que por lo que he investigado, está obligado a ser el centrer de la masa, dondequiera que las fuerzas que he aplicado están en, aunque esto parece poco intuitivo para mí.

Answer 1

El problema tal y como está planteado es algo ambiguo, pero utilizando algunas simplificaciones podemos llegar a algo: si suponemos que las fuerzas no cambian en función del ángulo (es decir, no hay ningún "cohete corrector de la trayectoria" que actúe en función de su orientación), y que el centro de masa está fijo, entonces se pueden expresar la fuerza neta F' y el par neto T' con respecto al cuadro de la nave como funciones sólo del tiempo. Llamemos $\theta$ el ángulo entre el marco de la nave y el marco de "tierra" (algún marco externo en reposo), entonces:

$ \frac{d^2 \theta}{dt^2} = \frac{T'(t)}{I_0(t)}$ ,

donde $\ I_0$ es el momento de inercia con respecto al centro de masa, posiblemente una función del tiempo. se puede encontrar el ángulo $\theta$ por doble integración y luego expresar la fuerza en el marco del suelo en términos de la fuerza en el marco del barco utilizando la rotación matricial

$ R_\theta = \begin{bmatrix} cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{bmatrix}$

Entonces, wrt a la tierra, $ \bar{F} = R_\theta \bar{F'} $ y $\ \bar{T} = \bar{T'} $ Por lo tanto

$ \frac{d^2\bar{r}}{dt^2} = \frac{R_\theta}{m} \bar{F'} $

En el caso más sencillo, con $ \bar{F'}, \bar{T'}, I_0, m $ constante, y el barco comenzando en reposo, se obtiene

$ \theta(t) = \frac{T}{2I_0} t^2 $ y

$x(t) = \frac{F_{x'}}{m} \iint cos(wt^2) dt^2 + \frac{F_{y'}}{m} \iint sin(wt^2) dt^2 $ $y(t) = -\frac{F_{x'}}{m} \iint sin(wt^2) dt^2 + \frac{F_{y'}}{m} \iint cos(wt^2) dt^2 $

para $ w = \frac{T}{2I_0} $ .

Desgraciadamente esas integrales no son factibles, véase esta entrada de wikipedia . Curiosamente, este tipo de funciones se utilizan en el diseño de autopistas, donde las fuerzas entre los vehículos y la carretera a velocidad constante también son perpendiculares a la trayectoria (véase Espiral de Euler ).