Esta es una pregunta de deberes que me hicieron. No estoy del todo seguro de lo que pregunta. Por favor, ¿alguien me lo puede aclarar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En general, se puede tener una distribución de probabilidad sobre $\mathbb{N}$ . Por ejemplo, si $X$ es una variable aleatoria de este tipo, podemos definir una función de masa de probabilidad para cada número natural asignando un número a cada probabilidad, es decir $P(X=n)=a_n$ con $0\leq a_n\leq 1$ y exigir que $$\sum_{n\geq 0} P(X=n)= \sum_{n\geq 1} a_n = 1.$$
Obsérvese que la suma es infinita (sobre todos los números naturales) y convergente, por lo que por el criterio de Cauchy debemos tener $\lim_{n\to 0} a_n = 0$ .
Ahora bien, si queremos $X$ se distribuya uniformemente, lo que significa $P(X=n)= P(X=m)$ para todos $n,m\in \mathbb{N}$ entonces necesitamos $a_n=a_m$ para todos $n,m\in \mathbb{N}$ . Llame a $k:=a_n$ dicho valor. Pero entonces $$\sum_{n\geq 1} a_n = \sum_{n\geq 1} k = \infty \neq 1$$ por lo que dicha función de distribución no puede ser una función de probabilidad. Por lo tanto, es imposible asignar probabilidades iguales a todos los números naturales y esperar que la suma de todas estas probabilidades sea igual a 1.
