La traducción de una cierta prueba de $(\sum k)^2 = \sum k^3 $

Question

En la pregunta: interpretación Geométrica de $(\sum_{k=1}^n k)^2=\sum_{k=1}^n k^3$ el misterioso última respuesta tiene que ver con los conceptos de la ingeniería eléctrica y de procesamiento de la señal:

Considerar el tiempo de la señal de [1,2,...,k] (Una función lineal o "triángulo de onda"). El lado izquierdo es el cuadrado de la componente DC de la señal en el temporal/espacial de dominio que es sencillo de calcular. El lado derecho es la iterada de convolución de la transformada de fourier de [1,2,3,...,k] tres veces y, a continuación, componente DC de eso.

¿Alguien puede proporcionar los detalles aquí? ¿Qué quiere decir de onda triangular y la componente de corriente continua? Suena como sintonía de una radio, a continuación, probar un teorema, pero que es lo que hace que las matemáticas grande.

Answer 1

Sí Christoph está en la idea de derecho y hay algunos detalles técnicos aquí. Algunos Fft normalizar la suma a ser $1/n$ y otros no y algunos normalizar en un tercer camino, y así sucesivamente, por lo que necesito para comprobar cual de estos mis local de la FFT en realidad no va a poder comprobar yo mismo. De todos modos primero de todo, necesitamos una función para trabajar con, y elegimos la función lineal a continuación, básicamente $f(x) = x$ :

La teoría detrás de todo esto se basa en aplicar el teorema de la convolución de las transformadas de Fourier:

$$\mathcal{F}(f^3) = \mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(f)$$ junto con el hecho de que para la frecuencia de 0, el factor exponencial se convierte en 1 y la transformada de fourier es una suma (o en el caso continuo integral): $$\mathcal{F}(g)[0] = \sum_{k=1}^N g(k)$$ posiblemente veces un factor en función de la normalización. Esto es lo que el lado izquierdo cantidades. El lado derecho es con el mismo razonamiento $(\mathcal{F}(f)[0])^2$. Nota la plaza está última es el resultado de la suma.