Dimensión de un espacio de rango de un operador lineal

Question

Defina $$T: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$$ como

$\displaystyle T(f(x))= \int_{0}^{1} \sin(x+y)f(y)dy$ entonces la dimensión del espacio de alcance de $T$ es Alguien me puede ayudar a entender como enfocar el problema. Si hubiera sido un espacio de dimensión finita habría encontrado la nulidad y luego la habría restado de la dimensión del dominio pero aquí no es el caso

Answer 1

Pista: \begin{align} \int^1_0 \sin(x+y)y^n\ dy =&\ \int^1_0 \sin(x)\cos(y) y^n+\cos(x)\sin(y)y^n\ dy \\ =&\ \left(\int^1_0y^n\cos y\ dy\right)\sin x+\left(\int^1_0 y^n \sin y\ dy \right) \cos(x) \end{align}

Así que... la dimensión del alcance es finita.

Answer 2

Usted tiene $$ \sin(x+y)=\sin x\,\cos y+ \cos x\,\sin y. $$ Así que $$ Tf(x)=\left(\int_0^1\cos y\,f(y)\,dy\right)\,\sin x+\left(\int_0^1\sin y\,f(y)\,dy\right)\,\cos x. $$ Así $Tf$ es una combinación lineal de las dos funciones $\sin x$ y $\cos x$ y su alcance tiene dimensión $2$ .

Answer 3

Desde

$\sin (x + y) = (\sin x) (\cos y) + (\cos x) (\sin y), \tag 1$

tenemos, para cualquier $f(x) \in C[0, 1]$ ,

$T(f(x)) = \displaystyle \int_0^1 (\sin (x + y))f(y)\; dy = \int_0^1 (\sin x) (\cos y)f(y)\;dy + \int_0^1 (\cos x) (\sin y)f(y)\;dy$ $= \displaystyle \sin x \int_0^1 (\cos y)f(y)\;dy + \cos x \int_0^1 (\sin y)f(y)\;dy, \tag 2$

que muestra que

$\dim \text{Range}(T) \le 2; \tag 3$

desde $\cos x$ y $\sin x$ son linealmente independientes, es fácil ver que la igualdad debe cumplirse en (3), ya que existen $g, h \in C[0, 1]$ con

$\displaystyle \int_0^1 (\cos y) g(y) \ne 0, \; \int_0^1 (\sin y) g(y) = 0, \tag{4}$

y

$\displaystyle \int_0^1 (\cos y) h(y) = 0, \; \int_0^1 (\sin y) h(y) \ne 0. \tag{5}$