Por qué escribir $d[X,Y]_t$ como $dX_t dY_t$ o $[B]_t$ como $\int_0^tdt$ es el llamado "abuso de notación"?
¿Es porque $[B]_t \rightarrow \int_0^tdt$ ¿pero no son iguales?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Lo segundo no es realmente un abuso de la notación, pero lo primero sí. He aquí por qué. Supongamos que queremos calcular la integral de Lebesgue-Stieltjes $$\int H_s d[X,Y]_s$$ para algún proceso $H$ . Con esta notación puede parecer que hay una integral estocástica doble, pero no es así. La notación se entiende como una especie de regla de multiplicación al calcular el proceso de covariación cuadrática. La regla de "multiplicación" real es la siguiente. $$[\int M_s dW_s, \int N_s dZ_s] = \int M_sN_s d[W,Z]_s$$ Ahora dejemos que $X$ denota el primer término en el LHS y $Y$ la segunda legislatura. Ahora calculamos $d[X,Y]$ y $dXdY$ (como si nos multiplicáramos).
$$d[X,Y]_s = M_sN_s d[W,Z]_s$$ $$dX_sdY_s = M_sN_s dW_sdZ_s$$
Ahora espero que la analogía esté clara.
