periodo de las señales compuestas

Question

Acabo de empezar a estudiar los fundamentos de las señales y los sistemas. Tengo problemas para entender el periodo fundamental de las señales compuestas.Los ejemplos son los siguientes. 1) X(t)= \$\\2cos(t)\$ + \$\\cos(t/3)\$ He averiguado los periodos individuales.T1(Periodo de Coste)=2\pi y T2(periodo de cos(t/3))=6\pi

Ahora T1/T2=1/3 y el periodo de la señal resultante es 6 \pi

El autor ha afirmado que T1/T2 tiene que ser siempre un número racional. Si no es así, la señal resultante no es periódica. \pi y 6 \pi es 6 \pi (Me confundí aquí ya que LCM no se aplica a los irracionales) ¿Y por qué el cociente T1/T2 debe ser siempre un número racional?

Answer 1

Básicamente lo que intentas encontrar, si lo pensamos gráficamente, es cuál es el trozo de trama más corto que podemos reunir que se repita.

Es decir, cuál es la parte más corta de la señal que podemos recoger y copiarla y pegarla hasta el infinito y seguir obteniendo la misma señal.

Por lo tanto, si ambas señales comienzan en t=0, tenemos que encontrar en qué t ambas señales estarán de nuevo en su punto de partida.

Si una señal se repite cada 3 segundos y otra cada 1 segundo, entonces sabemos que t=3.

Si una señal tuviera un periodo de, digamos, sqrt(2), y otra señal un periodo de 1 segundo, entonces nunca podrías hacerlo. Nunca jamás ambas señales comenzarán al mismo tiempo que t=0. Esto significa que tu señal en efecto no es periódica.

Recordemos:

f(t) será periódica si

f(t) = f(t+T), donde T es el periodo.

En tu ejemplo los periodos son:

T1 = 2*pi

T2 = 6*pi

Esto significa que puedes meter 3 veces la T1 en una T2. Así que en este caso el periodo es el periodo de T2. El LCM(2*pi, 6*pi) = 6*pi

También puedes intentar resolver la siguiente ecuación:

a T1 = b T2, donde a y b deben ser naturales y quieres la combinación mínima de a y b que cumpla la ecuación. Para tu caso esto sería a = 3 b = 1. a = 6 y b = 2 también funcionaría, pero no es mínimo aún podemos simplificar esa fracción.