¿Son las operaciones reticulares en un espacio Lipschitz secuencialmente continuas en la topología débil*?

Question

Se trata de una continuación de esta pregunta (respondida) en math.SE pero implica una topología diferente. Creo que esta vez es más apropiado para MO. Repetiré los antecedentes de la pregunta citada anteriormente.

Denote por $Lip_0(X)$ el conjunto de todas las funciones de Lipschitz en un espacio métrico $X$ desapareciendo en algún punto base $e \in X$ . La norma en $Lip_0$ se define del siguiente modo $$ \|f\|_{Lip_0} := Lip(f), $$ donde $Lip(f)$ denota la constante de Lipschitz. Con operaciones puntuales $f \vee g := \max\{f,g\}$ y $f \wedge g := \min\{f,g\}$ el espacio $Lip_0$ se convierte en Red Lipschitz en la que se cumple la siguiente condición $$ \|f \vee g\|_{Lip_0} \leq \max\{\|f\|_{Lip_0},\|g\|_{Lip_0}\}. $$ La condición de la red de Banach $|f| \leq |g| \implies \|f\| \leq \|g\|$ sin embargo, falla. (Nik Weaver. Álgebras de Lipschitz, 2ª ed.)

Para una amplia clase de espacios métricos $X$ el espacio $Lip_0(X)$ tiene un predual único, que se denomina espacio de Arens-Eels o espacio libre de Lipschitz, según la comunidad. Puede verse como la terminación del espacio de medidas de Radon con media cero $\mathcal M_0(X)$ con respecto a la norma dual Lipschitz $$ \|\mu\|_{Lip*} := \sup\{\langle \mu,f \rangle \colon \|f\|_{Lip_0} \leq 1\}. $$ Lo que se añade con esta finalización son límites como $d(x,y) \to 0$ de combinaciones lineales de los llamados moléculas elementales $$ m_{xy} := \frac{1}{d(x,y)}(\delta_x - \delta_y), $$ donde $d(x,y)$ es la distancia entre $x,y \in X$ y $\delta_x, \delta_y$ son funciones delta situadas en $x,y$ . (Nik Weaver. Álgebras de Lipschitz, 2ª ed.)

Como se señala en la respuesta a la pregunta que he citado anteriormente, las operaciones de celosía $f_+ := f \vee 0$ , $f_- := (-f) \vee 0$ y $|f| := f \vee (-f)$ no son continuas en $Lip_0$ norma, es decir $$ \|f_n - f\|_{Lip_0} \to 0 \quad \text{does not imply} \quad \|(f_n)_+ - f_+\|_{Lip_0} \to 0. $$

Question . ¿Son las operaciones $f_+ := f \vee 0$ , $f_- := (-f) \vee 0$ y $|f| := f \vee (-f)$ secuencialmente continua en la topología débil*, es decir, hace $$ f_n \rightharpoonup^* f \implies (f_n)_+ \rightharpoonup^* f_+ $$ ¿Sostener?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Sí. $f_n \to f$ débil* entonces la secuencia $(f_n)$ debe estar limitada en ${\rm Lip}_0(X)$ (Banach-Steinhaus), y para redes acotadas la convergencia débil* es lo mismo que la convergencia puntual. Por tanto, $f_n \to f$ limitadamente puntual, lo que implica fácilmente lo mismo de las partes positivas.

Permítame también corregir un par de inexactitudes en su post: en primer lugar, sabemos que ${\rm Lip}_0(X)$ tiene un predual único para una gran clase de espacios $X$ (si tiene diámetro finito, o si es convexa), pero esto no se sabe para todas las $X$ . En segundo lugar, lo que se añade en la finalización son límites de combinaciones lineales de moléculas elementales.