Procesos gaussianos en el dominio de la ondícula: ¿qué es la covarianza?

Question

He estado leyendo Maraun et al , "Procesos gaussianos no estacionarios en el dominio wavelet: Synthesis, estimation, and significant testing" (2007), que define una clase de GP no estacionarios que pueden especificarse mediante multiplicadores en el dominio wavelet.

Una realización de uno de estos GP es:

$$ s(t) = M_h m(b,a) W_g \eta(t)\, , $$

donde

• $\eta(t)$ es ruido blanco,
• $W_g$ es la transformada wavelet continua con respecto a wavelet $g$ ,
• $m(b,a)$ es el multiplicador (una especie de coeficiente de Fourier) con escala $a$ y el tiempo $b$ y
• $M_h$ es la transformada wavelet inversa con reconstrucción wavelet $h$ .

Un resultado clave del documento es

Si los multiplicadores $m(b,a)$ sólo cambian lentamente, entonces las propias realizaciones sólo dependen "débilmente" de las opciones reales de $g$ y $h$ .

Así $m(b,a)$ especifica el proceso.

A continuación, crean algunas pruebas significativas para ayudar a inferir los multiplicadores de ondículas basándose en las realizaciones.

Dos preguntas:

1. ¿Cómo evaluamos la probabilidad GP estándar? que es $p(D) = \mathcal{N}(0,K)$ ?

Supongo que estamos haciendo efectivamente un cambio de coordenadas por lo que $K^{-1} = W^T M^{-1} W$ donde $W$ son las ondículas y $M$ es la matriz (¿diagonal?) de coeficientes wavelet $m(a,b)$ . Sin embargo, utilizan un CWT no normal, por lo que no sé si es correcto.

2. ¿Cómo puede relacionarse esta GP del dominio wavelet con una GP del espacio real? ? Concretamente, ¿podemos calcular un kernel de espacio real (no estacionario) $k$ de $m(a,b)$ ?

A modo de comparación, el núcleo de un proceso gaussiano estacionario es el dual de Fourier de su densidad espectral (teorema de Bochner, véase el capítulo 4 de Rasmussen), lo que permite cambiar fácilmente entre una GP de espacio real y una de espacio de frecuencias. Aquí me pregunto si existe una relación semejante en el dominio wavelet.

Answer 1

El proceso impulsor, el ruido blanco η(t), es independiente de la elección de la base. En una CWT (a diferencia de la DWT que salta en octavas) hay cierta redundancia, las bandas de onda estrechas se solapan. La "característica" cuya significación se comprueba es una varianza (potencia) observada en una frecuencia estrecha durante un breve periodo de tiempo. Está claro que esto depende matemáticamente de la wavelet elegida, pero no mucho: un ancho de banda más estrecho puede detectar características que cambian más lentamente con mayor sensibilidad, mientras que un ancho de banda más amplio es más sensible, pero tiene un fondo más ruidoso y es menos específico.

1. Como esto mide el espacio de la ondícula, se integra sobre la duración de la ondícula, la transformación que has escrito sería para cualquier "punto en el tiempo". Generalmente se necesita información de fase para invertir la CWT. La prueba de Maraun es esencialmente Chi-cuadrado en potencia.

2. No. Maraun depende de la relación señal/ruido en una banda de frecuencias a lo largo de un intervalo de tiempo, que puede tener muchas realizaciones diferentes en el espacio de ruido y es independiente de la fase. Es sensible a una señal AR(1) en el dominio wavelet a una frecuencia específica, es decir, una oscilación sostenida en el tiempo; por ejemplo, el dominio CWT tenderá a suprimir un pico aislado en el ruido de banda ancha.