¿Por qué $\text{SL}_3(\mathbf{Z}[1/2])$ un entramado en $\text{SL}_3(\mathbf{R})\times\text{SL}_3(\mathbf{Q}_2)$ ? La discreción está bastante clara, pero ¿por qué el covolumen finito? Entiendo por qué $\text{SL}_3(\mathbf{Z})$ tiene covolumen finito en $\text{SL}_3(\mathbf{R})$ pero tengo problemas para ver esta extensión.
Para el caso, ¿por qué $\mathbf{Z}[1/2]$ tienen covolumen finito en $\mathbf{R}\times\mathbf{Q}_2$ ?
¿Me estoy perdiendo un argumento sencillo?
En cuanto a la segunda pregunta, es bastante elemental : utilizar la "parte fraccionaria" en $\mathbf{Z}[1/2]$ para poner cualquier elemento de $\mathbf{R}\times\mathbf{Q}_2$ en $\mathbf{R}\times\mathbf{Z}_2$ (por sustracción), y el "restante" $\mathbf{Z}$ para poner el $\mathbf{R}$ componente en $[0,1]$ . De esta forma se ve que el cociente es un solenoide el cociente compacto $[0,1]\times\mathbf{Z}_2/(1,x)\sim (0,x+1)$ (se trata de un compacto conectado grupo topológico).
Informalmente, los elementos de $\mathbf{R}$ tienen expansión diádica infinita a la derecha y finita a la izquierda, y $2$ -los números radicales tienen la situación contraria. Entonces $\mathbf{Z}[1/2]$ es su "intersección". El cociente (diagonal) simplemente las "mezcla".
En cuanto a la primera pregunta, en primer lugar podría utilizar que $\text{SL}_3(\mathbf{Z}[1/2])$ es denso en $\text{SL}_3(\mathbf{Q}_2)$ para poner el $2$ -de cualquier elemento de $\text{SL}_3(\mathbf{R})\times\text{SL}_3(\mathbf{Q}_2)$ en el abra subgrupo $\text{SL}_3(\mathbf{Z}_2)$ entonces $\text{SL}_3(\mathbf{Z})$ para poner el $\text{SL}_3(\mathbf{R})$ en un dominio fundamental de volumen finito $D$ . Entonces $D\times\text{SL}_3(\mathbf{Z}_2)$ es un dominio fundamental de volumen finito.
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