la imagen continua de una compacta $T_2$ -espacio

Question

Sea $X,Y$ sea un espacio topológico. El mapa $ f : X \longrightarrow Y$ se dice que es cerrado si para cada $F \subset X$ su imagen $f[F]$ también está cerrado en $Y$ .

entonces, ¿es correcto decir:

A $KC$ -espacio $Y$ que es la imagen continua de una compacta $T_2$ -espacio $X$ es un $T_2$ -espacio ¿por qué ¿es necesario que la función sea onto?

Answer 1

Supongamos que $f:X\to Y$ es una proyección continua, $X$ es compacta y Hausdorff, y $Y$ es un $KC$ espacio. Sea $F$ sea cualquier subconjunto cerrado de $X$ . Entonces $F$ es compacto, por lo que $f[F]$ es compacto en $Y$ y, por tanto, cerrado en $Y$ (ya que $Y$ es $KC$ ). Así, el mapa $f$ está cerrado.

Ahora dejemos que $y_0$ y $y_1$ sean puntos distintos de $Y$ . Sea $K_0=f^{-1}[\{y_0\}]$ y $K_1=f^{-1}[\{y_1\}]$ ; $K_0$ y $K_1$ son conjuntos cerrados disjuntos en el espacio compacto de Hausdorff $X$ por lo que hay conjuntos abiertos disjuntos $U_0$ y $U_1$ en $X$ tal que $K_0\subseteq U_0$ y $K_1\subseteq U_1$ . Sea $F_0=X\setminus U_0$ y $F_1=X\setminus U_1$ Entonces $F_0$ y $F_1$ se cierran en $X$ y $F_0\cup F_1=X$ . Sea $C_0=f[F_0]$ y $C_1=f[F_1]$ ; $f$ está cerrado, por lo que $C_0$ y $C_1$ se cierran en $Y$ y claramente $C_0\cup C_1=Y$ . Sea $V_0=Y\setminus C_0$ y $V_1=Y\setminus C_1$ Entonces $V_0$ y $V_1$ están abiertas en $Y$ y $V_0\cap V_1=\varnothing$ . Afirmo que $y_0\in V_0$ y $y_1\in V_1$ .

Pero esto está claro. $K_0\subseteq U_0$ Así que $K_0\cap F_0=\varnothing$ ; $K_0$ es la imagen inversa completa de $\{y_0\}$ por lo que se deduce que $f(x)\ne y_0$ para cada $x\in F_0$ y, por tanto, que $y_0\notin f[F_0]=C_0$ y por lo tanto que $y_0\in V_0$ . Un argumento similar demuestra que $y_1\in V_1$ . Así, $y_0$ y $y_1$ tienen nbhds abiertos disjuntos, y puesto que $y_0$ y $y_1$ fueran un par arbitrario de puntos distintos de $Y$ hemos demostrado que $Y$ es Hausdorff.