Diferencia entre aditividad Sigma y aditividad finita

Question

Una función de conjunto $\mu(A)$ se llama medida si 1. ... 2 ... 3. $\mu$ es aditivo en el sentido de que si $A$ es un conjunto en $\mathscr{S}_{\mu}$ tal que $$A = \bigcup_{k=1}^{n} A_{k}, $$ donde $A_{1}, \cdots , A_{n}$ son conjuntos disjuntos en $\mathscr{S}_{\mu}$ entonces $\mu(A) = \sum_{k=1}^{n} \mu(A_{k})$

Una medida $\mu$ con dominio de definición $\mathscr{S}_{\mu}$ se dice $\textbf{sigma-additive}$ si $$\mu(A) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(A_{n})$$ para todos los conjuntos $A , A_{1}, \cdots , A_{n}, \cdots \in \mathscr{S}_{\mu} $ satisfaciendo $$A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}, \; A_{i} \cap A_{j} = \emptyset \; (i \neq j)$$

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¿Cuál es la diferencia entre estas dos definiciones de aditividad? La $\sigma$ -La definición aditiva hace que la suma llegue hasta el infinito, ¿pero eso es todo?

Answer 1

No sé si sirve de ayuda, pero tal vez un ejemplo pueda proporcionar alguna intuición sobre la importancia de $\sigma$ -¿Aditividad? Supongamos, por ejemplo, que usted tiene un finito positivo $\sigma$ medida aditiva $\mu$ en ${\Bbb R}$ entonces una propiedad muy agradable es la siguiente propiedad de continuidad: $$ \lim_{x\rightarrow 0^+} \mu( \ (0,x)\ ) = 0$$ La medida no finita $\mu(A) = \int_A \frac{1}{|x|} dx$ no verifica esto entonces ¿por qué funciona para una medida finita? Cuando se empieza a trabajar con medidas a menudo se necesita tal continuidad y para ello realmente se necesita aditividad contable. Aunque el enunciado utiliza un límite de $x$ al ser un número real basta con ver $x=1/n$ y observe que $\sigma$ -implica aditividad: $$ \mu( \ (0,1] \ ) = \sum_{n\geq 1} \mu ( \ ( \frac{1}{n+1},\frac{1}{n} ] \ ) < +\infty$$ El mero hecho de que la suma sea convergente implica que la 'cola'-suma $\mu ( (0,\frac{1}{n}] )$ debe llegar a cero a medida que $n\rightarrow \infty$ . La aditividad finita no basta para demostrarlo.

Answer 2

Sí, la aditividad sigma difiere de la aditividad finita sólo por el hecho de que se permiten series infinitas en lugar de sumas finitas.

Sin embargo, esto supone una gran diferencia en la práctica y las medidas finitamente aditivas pueden ser más extrañas de lo que se piensa a primera vista. Por ejemplo, existe una medida finitamente aditiva e invariante de traslación sobre los números enteros, de manera que el conjunto de todos los números enteros tiene medida 1, es decir, algo así como una medida de probabilidad finitamente aditiva e invariante de traslación. Nótese que todos los solitarios tendrán medida cero, lo que implica que todos los conjuntos finitos también tienen medida cero. Los conjuntos con medida entre cero y uno tienen cierta "densidad positiva", por ejemplo, el conjunto de todos los números pares tendría medida 1/2...