Si se ponen 24 trozos de salchicha al azar en una pizza, ¿cuál es la probabilidad de que tu porción tenga 3 trozos de salchicha?

Question

Esta pregunta procede de Statistics the Easy Way, tercera edición, de Douglas Downing Ph.D y Jeffery Clark, Ph.D

Capítulo 6, Pregunta 1.

Si se ponen al azar 24 trozos de salchicha en una pizza que se corta en 8 trozos (sin cortar ninguna de las salchichas), ¿cuál es la probabilidad de que tu trozo tenga 3 trozos de salchicha?

La respuesta que se da en la contraportada del libro es la siguiente:

$\binom{24}{3}\cdot \left ( \frac{1}{8} \right )^{3}\cdot \left ( \frac{7}{8} \right )^{21} = 0.006623494492036295$

No entiendo cómo los autores obtuvieron esta respuesta. Como los trozos de salchicha no se distinguen, sólo hay una manera de seleccionar 3 trozos de salchicha. ¿Se etiquetan primero los trozos de salchicha y luego se seleccionan en $\binom{24}{3} $ ¿Cómo?

¿No se trata de un problema de bolas contra cajas con bolas indistinguibles y cajas distinguibles?

Hay 24 bolas y 8 cajas. El número de formas de asignar bolas a casillas es $\binom{24+8-1}{8}$ . Sólo hay una manera de poner 3 bolas indistinguibles en mi caja y luego hay $\binom{21+7-1}{7}$ formas de asignar las otras bolas a las casillas.

Así que la probabilidad de que mi rebanada tenga exactamente 3 trozos de salchicha es

$$\frac{\binom{21+7-1}{7}}{\binom{24+8-1}{8}} = 0.11256952169076752$$

Dado que estas respuestas son claramente diferentes, ¿podría alguien explicar el error en la forma en que he resuelto el problema?

Answer 1

No puedes usar estrellas y barras para esto. Su cálculo pondera todas las distribuciones por igual, como si fuera igual de probable que todas $24$ salchichas están en la primera rebanada como es que hay $3$ en cada rebanada, lo que claramente no es el caso.

El cálculo del libro se hace como si las salchichas se colocaran sobre la pizza una vez cortada. Entonces se ${24\choose3}$ formas de elegir qué $3$ salchichas van en su rebanada, cada uno tiene una probabilidad de $1/8$ de aterrizar en su rebanada, y el otro $21$ salchichas tienen cada una una probabilidad de $7/8$ de no aterrizar en su rebanada.

Una pregunta bastante tonta, creo, ya que nadie hace una pizza como esta.

ADDENDUM en respuesta al comentario del OP:

No contamos las diferentes distribuciones de salchichas: Alice consiguió $4$ Bob tiene $2$ Carol tiene $3$ etc. Eso es lo que contarían las estrellas y las barras, y no es una cuestión de probabilidad, porque sólo estamos contando los resultados, y no considerando su probabilidad. Si se divide el número de distribución es que Alice obtiene $3$ salchichas por el número total de distribuciones, y llamar a eso la probabilidad, estás tratando todas las distribuciones como igualmente probables, y eso no es así.

Consideremos un problema más sencillo. Se lanza una moneda $10$ veces. ¿Cuál es la probabilidad de que todos los lanzamientos salgan cara? Utilizando el planteamiento que has empleado en este problema, dirías: "Esto es como lanzar $10$ bolas indistinguibles en $2$ cubos distintos. Existen $11$ distribuciones, y sólo $1$ con todas las cabezas, por lo que la probabilidad es ${1\over11}.$ "

Eso es obviamente erróneo. La probabilidad es ${1\over2^{10}}={1\over1024}.$

Answer 2

Estoy de acuerdo con la respuesta de la izquierda del libro: ${24 \choose 3}\cdot\left(\frac18\right)^3\cdot \left(\frac78\right)^{21}$

Sin embargo, esto equivale a $\frac{1130496828904566830168}{4722366482869645213696}\approx .2394$