¿Las potencias pth de $p$ -definen la misma ordenación parcial en el conjunto de todas las distribuciones de probabilidad para todas las $p>1$ ?

Question

Considere la $p$ -ésima potencia del Schatten $p$ -norm $||q||_p$ de una distribución de probabilidad $q$ es decir, la función $\sum_j q_j^p$ donde $\sum_j q_j = 1$ y $q_j \geq 0$ . Para fijos $q$ y $p>1$ es una función no creciente de $p$ .

La pregunta es: dado $p_1, p_2$ ambos $>1$ ¿es cierto que:

siempre que $\left(||q||_{p_1} \right)^{p_1} \geq \left(||s||_{p_1} \right)^{p_1}$ entonces también $\left(||q||_{p_2} \right)^{p_2} \geq \left(||s||_{p_2} \right)^{p_2}$ ?

En otras palabras, ¿todas estas funciones definen el mismo orden parcial en el conjunto de distribuciones de probabilidad?

Nota: en términos de teoría de la información, la pregunta también se puede plantear de forma equivalente en términos del Entropías de Tsallis $T_p = \frac{1-\sum_j q_j^p}{p-1}$ ),

y también el estrechamente relacionado Entropías de Rényi $R_p ( q)= \frac{1}{1-p} \ln \sum_j q_j^p$

Answer 1

Es falso. Por ejemplo $q=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ y que $s=(\frac{3}{5},\frac{1}{5},\frac{1}{5})$ . Entonces $\|q\|_2^2=\frac{1}{2}> \frac{11}{25}=\|s\|_2^2$ . Sin embargo, cuando $p>4$ , $\|q\|_p^p=2^{1-p}<(\frac{3}{5})^p<\|s\|_p^p$ .