Este fue un problema reciente en la Matemáticas asombrosas Columna de problemas. En solución se da de la siguiente manera:
Utilizaremos Lema de Stolz-Cesaro . Tenemos:
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sin(1)+\sin^2(\frac{1}{2})+\ldots+\sin^n(\frac{1}{n})}{\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\ldots+\frac{1}{n!}}$$ $$=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^n(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^n(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n^n}}\cdot\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{n^n}.$$ Desde $$\frac{n!}{n^n}<\frac{1}{n}$$ tenemos $$\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n}=0$$ Por lo tanto, el límite requerido es $0$ .
Tengo dos problemas con la prueba dada que no puedo entender.
En primer lugar, por todo lo que he leído hasta ahora, el límite de Stolz-Cesaro sólo se aplica a los casos en que el límite es de la forma $\frac{0}{0}$ y la forma $\frac{\cdot}{\infty}$ . Sin embargo, tanto el enunciado del teorema como la forma en que el autor presenta esta solución parecen implicar lo siguiente: $$a_n=\sum_{k=1}^n \sin^k\Big(\frac{1}{k}\Big), \ \ \ \text{and} \ \ \ b_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$$ Entonces al "aplicar" el teorema de Stolz-Cesaro tendrías: $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=\lim_{n\to\infty} \frac{\sum\limits_{k=1}^{n} \sin^k(\frac{1}{k})-\sum\limits_{k=1}^{n-1} \sin^k(\frac{1}{k})}{\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k!}-\sum\limits_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sin^n(\frac{1}{n})}{\frac{1}{n!}}$$
El problema que veo es cuando $n\to\infty$ sabemos que $a_n$ converge mediante la prueba de la raíz, y $b_n$ converge a $e-1$ . Por tanto, según las reglas básicas de los límites, esto también convergería. Así que parece que $b_n$ no satisface ninguno de los requisitos de secuencia del Teorema de Stolz-Cesaro.
En segundo lugar, según wolfram $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \sin^n\Big(\frac{1}{n}\Big)\approx 1.11043$ . Así que intuitivamente me parece que este límite sería aproximadamente $\frac{1.11043}{e-1}\approx 0.646244$ .
¿Alguien sabe qué está pasando aquí?
