Sea $\{a_n\}$ sea una secuencia tal que
- $a_n\geq 0$ para todos $n$
- $\{a_n\}$ es monotónicamente decreciente
- $\sum_{n=1}^\infty a_n$ converge
¿Es cierto que como $n\rightarrow\infty$ entonces $$n\log n\;a_n\rightarrow 0$$
Dadas las hipótesis, podemos demostrar que $n a_n\rightarrow 0$ como $n\rightarrow\infty$ . Esto se deduce porque $$0\leq 2na_{2n}\leq 2(S_{2n}-S_n)\quad\text{ and }\quad 0\leq(2n+1)a_{2n+1}\leq 2(S_{2n+1}-S_n)+a_{2n+1}$$
He estado intentando adaptar este enfoque a $n\log n\; a_n$ pero hasta ahora ha sido infructuoso. He estado trabajando con desigualdades que implican $\log$ pero cada uno de ellos parece ser demasiado "débil"; en ese caso, termino con una secuencia de productos en la que una parte va a $0$ y el otro va a $\infty$ . También he probado la condensación, pero no consigo determinar si el término general de esa nueva serie forma una sucesión monotónicamente decreciente. Tampoco he podido dar con un contraejemplo.
Se agradece cualquier ayuda para resolver la cuestión en cualquiera de los dos sentidos.
ACTUALIZACIÓN
El planteamiento de RRL resuelve todos los casos en los que $\lim\inf n\log n\;a_n>0$ pero aún no hemos resuelto el caso en el que $\lim\inf n\log n\; a_n=0$ y $\lim\sup n\log n\; a_n>0$ .
Por casualidad, estaba leyendo uno de mis libros sobre análisis y el resultado para $na_n\rightarrow 0$ se planteó como un problema. Venía con una nota a pie de página que $1/n$ no puede sustituirse por una función que se aproxime a $0$ más rápido. Entiendo que esto incluye $1/n\log n$ . Sin embargo, tengo problemas para encontrar la referencia exacta que cita el autor. El libro en el que encontré esto es "Elementary Real and Complex Analysis" de Geogi E. Shilov (impreso por primera vez en 1973), y la única dirección que da es el nombre de "A.S. Nemirovski". Así que cualquier ayuda que me dirija a esta referencia también sería de gran ayuda.
