Mi profesor dijo que se resuelve usando la prueba a través de la contradicción. He considerado los casos del centro del círculo, pero pierdo la geometría a lo grande así que no estoy seguro de cómo hacerlo.
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Sin pérdida de generalidad, el centro común de sus cuatro círculos es $(0,0)$ y los radios son $r,r+1,r+2,r+3$ . Además, sin pérdida de generalidad, el punto $A$ tiene coordenadas $(r,0)$ y el punto $C$ tiene coordenadas $\frac{r+3}{t^2+1}(t^2-1,2t)$ (parametrización racional de un círculo) que evita algunos malabarismos con las funciones trigonométricas. A continuación, puede calcular las coordenadas de $B$ y $D$ en función de $t$ y mira sus normas. No podrás hacer que $r+1$ resp. $r+2$ para el mismo $t$ y $r$ .
(Al principio había supuesto erróneamente que $r$ tendría que ser $1$ en cuyo caso no podrá alcanzar $\lVert B\rVert=2$ en absoluto. El siguiente comentario de Ewan ha corregido mi error).
Para ser más específicos, sus otros dos puntos de esquina tendrán coordenadas
\begin{align*} B&= \frac1{2(t^2+1)}\begin{pmatrix} 2 r t^{2} + 2 r t + 3 t^{2} + 6 t - 3 \\ 2 r t - 3 t^{2} + 2 r + 6 t + 3 \end{pmatrix} \\ D&= \frac1{2(t^2+1)} \begin{pmatrix} 2 r t^{2} - 2 r t + 3 t^{2} - 6 t - 3 \\ 2 r t + 3 t^{2} - 2 r + 6 t - 3 \end{pmatrix} \end{align*}
Ahora bien, si quiere conseguir $\lVert B\rVert=r+1$ y $\lVert D\rVert=r+2$ se obtiene finalmente el siguiente sistema de ecuaciones:
\begin{align*} 4 r^{2} t + 2 r t^{2} + 12 r t + 7 t^{2} + 2 r + 7 &= 0 \\ 4 r^{2} t + 2 r t^{2} + 12 r t - t^{2} + 2 r - 1 &= 0 \end{align*}
Este sistema de ecuaciones no tiene soluciones reales. (Sus cuatro soluciones complejas pueden resumirse como $r\in\{0,3\}, t=\pm i$ .)
Te preguntarás si es posible cubrir el círculo más pequeño y el más grande con dos adyacente puntos, en lugar de dos opuestos. Es decir, intente $\lVert A\rVert=r,\lVert B\rVert=r+3$ . Puede haber razones más obvias para no hacerlo, pero en caso de duda se puede hacer un cálculo como el anterior.
Joe Gauterin
Puntos
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Supongamos lo contrario, que efectivamente existe un cuadrado cuyos vértices se encuentran en 4 concéntricas círculos cuyos radios forman una progresión aritmética.
Escala todo y gira el eje de coordenadas de forma que el centro común de los círculos sea el origen. $(0,0)$ y el centro del cuadrado es $(1,0)$ .
Está claro, podemos elegir un punto $(u,v)$ en el primer cuadrante tal que los 4 vértices del cuadrado son
$$(1 + u, v),\; (1 - v, u ),\;(1 - u, -v), \;(1 + v, -u )$$
Sus distancias al centro del círculo vendrán dadas por $\sqrt{ \Delta \pm 2u }$ y $\sqrt{ \Delta \pm 2v }$ donde $\Delta = 1 + u^2 + v^2$ .
Consideremos en primer lugar el caso $u \ge v \ge 0$ . Dado que los cuatro radios son distintos podemos deshacernos de los casos de igualdad y hallar $u > v > 0$ . Esto conduce a
$$\sqrt{\Delta - 2u} < \sqrt{\Delta - 2v} < \sqrt{\Delta + 2v} < \sqrt{\Delta + 2u}$$
Si estas distancias forman una progresión aritmética $r < r+\alpha < r+2\alpha < r+3\alpha$ , tendremos
$$ \begin{align} 2u - 2v &= (\Delta - 2v) - (\Delta - 2u) = (r+\alpha)^2 - r^2 = 2\alpha r + \alpha^2\\ \text{ AND }\quad 2u - 2v &= (\Delta + 2u) - (\Delta + 2v) = (r+3\alpha)^2 - (r+2\alpha)^2 = 2\alpha r + 5\alpha^2 \end{align} $$
Estas dos igualdades juntas conducen a $\alpha^2 = 0 \iff \alpha = 0$ . es decir, la contradicción de que los cuatro radios no son distintos.
En $v \ge u \ge 0$ la situación es similar. Esto significa que es imposible que las distancias de los 4 vértices del cuadrado formen una progresión aritmética.
