La convergencia de la secuencia de $a_n=\int_0^1{nx^{n-1}\over 1+x}dx$

Question

Cómo probar la siguiente secuencia converge a $0.5$ ? $$a_n=\int_0^1{nx^{n-1}\over 1+x}dx$$ Lo que he intentado: He calculado la integral de la $$a_n=1-n\left(-1\right)^n\left[\ln2-\sum_{i=1}^n {\left(-1\right)^{i+1}\over i}\right]$$ También me di cuenta de ${1\over2}<a_n<1$ $\forall n \in \mathbb{N}$.

Luego me escribió un programa en C y verificado que $a_n\to 0.5$ (yo no sabía la respuesta antes) mediante el cálculo de $a_n$ hasta $n=9990002$ (a partir de $n=2$ y cada vez que el aumento de $n$$10^4$). No puedo pensar en cómo demostrar a $\{a_n\}$ es monótona decreciente, lo que está claro desde el cálculo directo.

Answer 1

Tenemos $$ a_n=\int_0^1\frac{nx^{n-1}}{1+x}\,dx=\frac{x^n}{1+x}\Big|_0^1+\int_0^1\frac{x^n}{(1+x)^2}\,dx=\frac12+\int_0^1\frac{x^n}{(1+x)^2}\,dx \quad \forall n \ge 1. $$ Desde $$ \int_0^1\frac{x^n}{(1+x)^2}\,dx\le \int_0^1^n\,dx=\frac{1}{n+1} \quad \forall n\ge 1, $$ de ello se sigue que $$ \lim_n\int_0^1\frac{x^n}{(1+x)^2}\,dx=0. $$ Por lo tanto $\lim_na_n=\frac12$.

Answer 2

EDIT: me siento un poco estúpido para no pensar en las maneras más fáciles en otros posts, pero creo que este método es una especie de fresco.

Me disculpo de antemano, esto es una gran cantidad de matemáticas y de pocas palabras.

$$\begin{align} \int_0^1\frac{nx^{n-1}}{1+x}\text dx&=\int_0^1nx^{n-1}\sum_{k=0}^\infty(-x)^k\text dx\\ &=\sum_{k=0}^\infty \int_0^1nx^{n-1+k}(-1)^k\text dx\\ &=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kn}{n+k} \end{align}$$

Ahora, usted quiere $$\begin{align}\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{n+k}&=\lim_{n\to\infty}n\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{n+2k}-\frac{1}{n+2k+1}\right)\\ &=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=0}^\infty \frac1{(n+2k)^2+n+2k}\\ &=\lim_{n\to\infty}n\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{(n+2k)^2}\tag 1\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(1+2\frac kn)^2}\\ &=\int_0^\infty \frac{1}{(1+2x)^2}\text dx\tag 2\\ &=\frac12\int_0^\infty \frac1{(1+x)^2}\text dx\\ &=\frac12\left.\left(-\frac1{x+1}\right)\right|_0^\infty\\ &=\frac12\end{align}$$

$(1)$ es obtenido por la realización de ese $n+2k$ es insignificante en comparación a $(n+2k)^2$ $n$ enfoques $\infty$

$(2)$ utiliza la conocida identidad $$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=an}^{bn}f\left(\frac kn\right)=\int_a^bf(x)\text dx$$

Answer 3

Usando integración por partes, obtenemos \begin{align} \int_0^1 \frac{nx^{n-1}}{1+x}dx &=\left.\frac{x^n}{1+x}\right|_0^1+\int_0^1\frac{x^n} {(1+x)^2}dx =\frac{1}{2}+r_n, \end{align} donde claramente $$ 0<r_n\le \int_0^1 x^n\,dx=\frac{1}{n+1}\longrightarrow 0, $$ como $n\to\infty$.

Answer 4

Pensando en la gráfica de $x^n$ $[0,1]$ podemos observar que se mantiene cerca de $0$ y, luego, bruscamente salta a $1$. Como tal, tiene sentido para descomponer la integral en $[0,c)$ $[c,1]$ (para algunos $c$ a ser elegido más tarde).

$$ a_n = \int_0^c{\frac{n x^{n-1}}{x+1}dx} + \int_c^1{\frac{n x^{n-1}}{x+1}dx} \leq \int_0^c{n x^{n-1}dx} + \int_c^1{\frac{n x^{n-1}}{c+1}dx}\\ = c^n + \frac{1 - c^n}{c+1}. $$

Ahora observe que para cualquier fijo $c < 1$, $c^n + \frac{1 - c^n}{c+1} \rightarrow 1/(c+1)$ como $n \rightarrow \infty$. Así tenemos a $\limsup_{n \rightarrow \infty}{a_n} \leq 1/(c+1)$, y ahora dejando $c \rightarrow 1$, desde abajo, llegamos a la conclusión de $\limsup_{n \rightarrow \infty}{a_n} \leq 1/2$.

Por otro lado $a_n = \int_0^1{\frac{n x^{n-1}}{x+1}dx} \geq \int_0^1{\frac{n x^{n-1}}{2}dx} = 1/2$ todos los $n$, por lo que el $\liminf_{n \rightarrow \infty}{a_n} \geq 1/2$.

Por lo tanto $$\lim_{n \rightarrow \infty}{a_n} = \frac{1}{2}.$$

Answer 5

$\newcommand{\+}{^{\daga}}% \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil #1 \right\rceil\,}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \cima {= \cima \vphantom{\enorme}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}}% \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,}% \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle}% \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,#2\,}\,}% \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert}$ Al $n \gg 1$ la principal contribución a la integral viene de $x \sim 1$. A continuación, se establece el cambio de las variables de $x = 1 -\epsilon$: \begin{align} \color{#0000ff}{\large a_{n}} &= \int_{0}^{1}{nx^{n - 1} \over 1 + x}\,\dd x = \half\,n\int_{0}^{1}{\pars{1 - \epsilon}^{n - 1} \over 1 - \epsilon/2}\,\dd\epsilon \\[3mm]&= \half\,n\int_{0}^{1}\exp\pars{\bracks{n - 1}\ln\pars{1 - \epsilon} - \ln\pars{1 - {\epsilon \over 2}}}\,\dd\epsilon\quad {\Large\stackrel{n \gg 1}{\sim}}\quad \half\,n\int_{0}^{\infty}\exp\pars{-\bracks{n - {3 \over 2}}\epsilon}\,\dd\epsilon \\[3mm]&= \half\,{n \over n - 3/2}\quad \color{#0000ff}{\large\stackrel{n \to \infty}{\Huge \to} \quad\half} \end{align}