Normalidad de $\mathbb{C}[x, y]/(y^2-x^3+x)$

Question

Sea $R:=\mathbb{C}[x, y]/(y^2-x^3+x)$ . Quiero determinar si $R$ es un anillo normal.

El campo de las fracciones de $R$ es $K=\mathbb{C}(x)[y]/(y^2-x^3+x)$ . Creo que $R$ es normal, así que quiero demostrar que $R$ es integralmente cerrado en $K$ . He observado que $R$ es integral sobre $\mathbb{C}[x]$ Así que $R$ es normal si el cierre integral de $\mathbb{C}[x]$ en $K$ es $R$ pero no es muy útil. También he intentado utilizar el criterio de normalidad de Serre, pero tampoco es muy útil.

¿Alguna otra idea?

Answer 1

Sea $f=y^2-x^3+x$ . Las condiciones $0= \partial_x f =1-3x^2$ y $0=\partial_y f = 2y$ implica $y=0$ y $x^2 =\tfrac13$ . Sin embargo, $f$ no desaparece en ninguno de estos dos puntos. Por lo tanto, la curva definida por $f$ es no singular y, en particular, es normal.