Potencial de culombio de un cristal periódico en el espacio recíproco

Question

Normalmente el potencial de Coulomb (interacción electrón-electrón) puede transformarse de Fourier (aparte de los prefactores) así: $$ \frac{1}{|\vec r_1 -\vec r_2|} = \int \frac{\text d ^3 k}{(2\pi)^3} \frac{\text e^{\text i \vec k (\vec r_1 - \vec r_2)}}{\vec k^2}\;. $$ Pero a veces, al tratar con cristales periódicos, veo cosas que: $$ \frac{1}{|\vec r_1 -\vec r_2|} = \sum_{\vec G} \frac{\text e^{\text i \vec G (\vec r_1 - \vec r_2)}}{\vec G^2}\;, $$ donde la suma va sólo sobre los vectores recíprocos de la red $\vec G$ .

Pero no entiendo por qué ¡La interacción electrón-electrón no es periódica! ¿Tiene algo que ver con el tamaño finito del sistema?

Answer 1

Como escribió Okarin, en el cristal existe una disposición periódica de los potenciales de Coulomb. La transformada de Fourier de esta disposición periódica de los potenciales de Coulomb es discreta; es cero excepto para los vectores recíprocos de la red.

Como la transformada de Fourier de una única función delta de Dirac es constante, pero la transformada de Fourier de un peine infinito de funciones delta de Dirac es un peine infinito de funciones delta de Dirac. Utilizando el teorema de convolución se puede ver que la transformada de Fourier del peine infinito de potenciales de Coulomb es el peine infinito de funciones delta de Dirac multiplicado por la transformada de Fourier del potencial de Coulomb.

Answer 2

Llego muy tarde a esto pero contestaré. La razón es que para un cristal periódico la transformada de Fourier y la serie de Fourier son equivalentes. En lugar de pensar en una carga puntual, consideremos una densidad de carga genérica $\rho(r_2)$ . El caso de un electrón puntual es aquel en el que $\rho(r_2) = \delta(r_2-r_e)$ utilizando el delta de Dirac. Entonces la transformada de Fourier de la misma es la función constante, $\rho(k)=1$ para cualquier $k$ y recupera la primera fórmula.
Sin embargo, si se tiene un sistema periódico con parámetros de red $a,b,c$ entonces para cada electrón en $r_e$ también tendrá infinitos electrones más en $r_e+ia+jb+lc$ con $i,j,l$ enteros. Entonces tu densidad ya no es un delta de Dirac, sino un Dirac peine : $\rho(r_2) = \sum_{ijl}\delta(r_2-r_e-ia-jb-lc)$ . Y la transformada de Fourier de un peine de Dirac es otro peine de Dirac. Por lo tanto, ahora tenemos una transformada de Fourier que está definida en una especie de red - no nula en los distintos vectores recíprocos de la red $G$ y cero en el resto. Y por eso la integral anterior se convierte, efectivamente en una suma. Sigue siendo una integral, en realidad: es sólo que el integrando es cero en todas partes que no sea en esos puntos discretos.