Todo conjunto único es abierto.

Question

Demostrar que en el espacio métrico $(\Bbb N ,d)$ donde definimos la métrica como sigue: sea $m,n \in \Bbb N$ entonces, $$d(m,n) = \left|\frac{1}{m} - \frac{1}{n}\right|.$$ A continuación, demuestre que cada conjunto único es abierto.

Me encuentro con la dificultad de ver lo que sería una bola abierta alrededor de un único punto con un radio determinado? ¿Puedo tomar la bola abierta alrededor de un número natural $n$ con radio $\frac{1}{2n(n+1)}$ ??

Answer 1

Considere $$K=\left\{ \frac 1 n \,\middle|\, n\in\mathbb N\right\}$$ equipado con la métrica estándar $d_K(x,y) = |x-y|$ . Entonces $(K,d_K)$ es isométrico con respecto a su espacio $(\mathbb N, d)$ vía $\mathbb N\to K, n\mapsto \frac 1 n$ . Bolas abiertas en $(K, d_K)$ son fáciles de visualizar, ya que no son más que las bolas abiertas de $\mathbb R$ intersectado con $K$ . Esto debería darle una idea de cómo las bolas abiertas en $(\mathbb N, d)$ mira.

Answer 2

Dejaré que $d_1$ denota la métrica habitual, y $d_2$ su métrica.

Sea $a \in \Bbb N$ . Tenemos:

{ $a$ } $= B_{d_1}(a,\frac12)$ porque..:

Si $x \in$ { $a$ }, entonces $x = a$ y hemos terminado.

Si $x \in B_{d_1}(a,\frac12)$ entonces $d(a,x) < \frac12$ Así que $|a - x| < \frac12$ pero esto significa que $|a - x| = 0$ ya que $a,x \in \Bbb N$ . Así, $x = a$ y así $x \in$ { $a$ }.

Por lo tanto, para cualquier $a \in \Bbb N$ , { $a$ } es una bola abierta en $(\Bbb N, d_1)$ y toda bola abierta es un conjunto abierto.

Por otro lado, $d_1$ y $d_2$ son topológicamente equivalentes. Por lo tanto los singletons también son abiertos en $(\Bbb N, d_2)$ .