La respuesta es negativa para los conjuntos abiertos generales. $\Omega = B_1 \setminus \{0\} \subset \Bbb R^n$ sea la bola perforada en $\Bbb R^n,$ y tomar $p < n < q.$ Arreglar cualquier $\varphi \in C^{\infty}_c(B_1)$ tal que $\varphi(0)=1.$
Por convergencia de incrustación de Sobolev en $W^{1,q}$ implica una convergencia uniforme, por lo que $\varphi \in W^{1,q}(\Omega) \setminus W^{1,q}_0(\Omega).$ Por otro lado afirmo $\varphi \in W^{1,p}_0(\Omega)$ considerando $$ v_r(x) = 1 - \frac{\int_{|x|}^1 t^{(1-n)/(p-1)} \,\mathrm{d} t}{\int_r^1 t^{(1-n)/(p-1)} \,\mathrm{d} t} $$ para $0 < r < |x| < 1,$ ajuste $v_r(x) = 0$ para $|x| \leq 1.$ Entonces $v_r \in C^{1}_c(\Omega)$ y se puede calcular que $$ \int_{B_1} |\nabla v_r(x)|^p \,\mathrm{d} x = \omega_{n-1} \left(\frac{p-1}{n-p}\right)^{1-p} |1 - r^{(p-n)/(p-1)}|^{1-p} \to 0$$ como $r \to 0.$ Por lo tanto $v_r \to 1_{\Omega}$ en $W^{1,p}(\Omega),$ y apaciguando $v_r \varphi$ vemos que $\varphi \in W^{1,p}_0(\Omega)$ según sea necesario.
El contraejemplo anterior se proporciona utilizando la teoría de la capacidad de Sobolev, y he adaptado los cálculos de 2.11 de la siguiente referencia.
Heinonen, Juha; Kilpeläinen, Tero; Martio, Olli Nonlinear potential theory of degenerate elliptic equations, Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Clarendon Press. v, 363 p. (1993). ZBL0780.31001 .
En términos más generales, de los capítulos 2 y 4 del texto se desprenden los siguientes resultados, que proporcionan algunas ideas sobre cuándo podemos esperar o no que se cumplan resultados de este tipo.
Teorema (2.43): Si $\Omega \subset \Bbb R^n$ está abierto y $E \subset \Omega$ es relativamente cerrado, entonces tenemos $$ W_0^{1,p}(\Omega) = W^{1,p}_0(\Omega \setminus E) $$ sólo si $E$ tiene $p$ -capacidad cero.
Teorema (4.5): Si $\Omega \subset \Bbb R^n$ está abierto, entonces $\varphi \in W^{1,p}(\Omega)$ se encuentra en $W^{1,p}_0(\Omega)$ si y sólo si existe un $p$ -función cuasicontinua $\tilde \varphi$ en $\Bbb R^n$ de acuerdo con $\varphi$ casi en todas partes en $\Omega,$ tal que $\tilde\varphi = 0$ $p$ -casi en todas partes en $\Bbb R^n \setminus \Omega.$
Utilizando el teorema 2.43 podemos generar más contraejemplos de la siguiente manera: supongamos que $E \Subset \Omega$ tiene $p$ -capacidad cero pero distinta de cero $q$ -capacidad, y elija $\varphi \in C_c^{\infty}(\Omega)$ tal que $\varphi \equiv 1$ en $E.$ Entonces vemos que $\varphi \not\in W^{1,q}_0(\Omega \setminus E),$ pero $\varphi \in W^{1,p}_0(\Omega \setminus E) = W^{1,p}_0(\Omega).$ El contraejemplo anterior lo hace señalando el punto $\{0\}$ tiene $p$ -capacidad cero si y sólo si $p < n,$ reproducir los cálculos necesarios.
