¿Cuál es el número esperado de pasos en el proceso siguiente?

Question

Tenemos $n$ casillas. Y hay inicialmente $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ canicas en cada cuadro. Escogimos al azar (con igualdad de probabilidades) seleccione una de las casillas. Tomamos uno de mármol de ella y la ponemos en otro (diferente de la de origen) en la casilla elegida al azar (con igualdad de probabilidades). Continuamos este proceso hasta que una de las cajas vacías. Cómo muchas de las operaciones que hacemos en promedio?

No es una tarea. No sé si de forma cerrada existe una solución. Mis resultados actuales son:

\begin{align}{} x_1, x_2 & \text{ para } n=2\\ \frac{3x_1 x_2 x_3}{x_1 + x_2 + x_3} & \text{ para } n=3 \end{align}

He crossposted en artofproblemsolving. Este problema está relacionado con el y tal vez (o no) de utilidad.

Update2: Como he aprendido: este problema ha sido estudiado antes. Como de costumbre :) Parece muy difícil, incluso para $n=4$. No hay solución explícita es conocido, sólo asymptotics para el caso de que $f(x,x,x,x)$. Sin embargo, la solución es mucho más fácil si cambiamos un poco el problema. Por ejemplo.

Muchas gracias a Viktor para apuntar la referencia!

Answer 1

Aquí están algunos de los resultados de los números muy pequeños, cuando hay $$ n variables: $$ \begin{align*} f(1,1,1,\ldots,1) y= 1, \\ f(2,1,1,\ldots,1) &= \frac{n}{n-1}, \\ f(3,1,1,\ldots,1) &= \frac{n^3-2n^2+3n}{n^3-3n^2+4n-2} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n^2-2n+3}{n^2-2n+2}, \\ f(2,2,1,\ldots,1) &= \frac{n^3-n^2+2n}{n^3-3n^2+4n-2} = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{n^2-n+2}{n^2-2n+2}. \end{align*} $$