Ayuda para calcular $(3+5i)^6$

Question

Quiero calcular $(3+5i)^6$ con $i = \sqrt{-1}$ pero de alguna manera estoy haciendo algo mal.

Cómo lo calculo:

Diga $z = x + yi = 3+5i$ Así que $z^6$ debe calcularse. $$|z| = \sqrt{3^2+5^2} = \sqrt{34}$$ $$\text{Arg}(z) = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \arctan\left(\frac{5}{3}\right)$$ $$z = |z|e^{i\text{Arg}(z)} = \sqrt{34}e^{i\arctan(5/3)}$$ $$z^6 = (\sqrt{34})^6e^{6i\arctan{(5/3)}} =39304e^6e^{i\arctan(5/3)} = 39304e^6(\cos{(\arctan{(5/3)})} + i\sin{(\arctan{(5/3)})}$$

Ahora a calcular $\cos{(\arctan{(5/3)})}$ y $\sin{(\arctan{(5/3)})}$ Dibujo un triángulo rectángulo con un ángulo $\theta$ y aristas que lo satisfagan.

De este triángulo, $$\cos{(\arctan{(5/3)})} = \cos\theta = \frac{3}{\sqrt{34}}$$ y $$\sin{(\arctan{(5/3)})} = \sin\theta = \frac{5}{\sqrt{34}}$$

Así que $$z^6 = 39304e^6\left(\frac{3}{\sqrt{34}} + i\frac{5}{\sqrt{34}}\right) = \frac{\sqrt{117912e^6}}{\sqrt{34}} + i\times\frac{196520e^6}{\sqrt{34}}$$

Cuando se conecta a una calculadora (o en este caso Julia ), esto es aproximadamente

julia> 117912e^6/sqrt(34) + im*196520e^6/sqrt(34)
8.158032643069409e6 + 1.3596721071782347e7im

Así que tengo $z^6 \approx 8.16 + 1.36i$ . (Escribo esta parte porque quiero documentar todo lo que hice, ya que no sé qué estoy haciendo mal).

Sin embargo, cuando calculo $(3 + 5i)^6$ directamente, obtengo

julia> (3 + 5im)^6
39104 - 3960im

Así que tengo $z^6 = 39104 - 3960i$ .

¿Qué estoy haciendo mal? Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es no cierto: $$e^{6i\arctan{5/3}} = e^6e^{i\arctan{5/3}}.$$

En su lugar, debe incorporar el 6 dentro de su ángulo: $$z^6 = 39304(\cos(6\arctan5/3) + i \sin(6\arctan5/3).$$

Answer 2

Así que resumiendo nuestros comentarios:

El único error aquí es que $e^{6\text{stuff}} \ne e^6 e^{stuff} $

Ahora bien, si tenemos esto en cuenta y simplificamos utilizando los argumentos anteriores, volveremos al punto de partida.

Una estrategia es utilizar el triángulo de Pascal: evaluar $ (a+b)^6 $ https://en.m.wikipedia.org/wiki/Pascal%27s_triangle

Como:

$$(a+b)^6 = a^6 + 6a^5b + 15a^3b^2 + 20a^3b^3 + 15 a^2b^3 + 6ab^5 + b^6$$

A continuación, arremánguese y prepárese para trabajar: deje que $a=3, b=5i$ y evaluar/simplificar.

Ahora para acelerar esto podemos hacer algunos trucos:

$$(a+bi)^6 = (a+bi)^4 (a+bi)^2 = ((a+bi)^2)^2)(a+bi)^2$$

Esto es fácil de evaluar:

Sea, a=3, b=5i, entonces $$(3+5i)^2 = 9 -25 + 30i = -16+30i$$ $$((3+5i)^2)^2 = (-16+30i)^2 = 256 -900 -2\times 16\times 30 $$

A continuación, multiplícalos para terminar :).

Si tiene alguna pregunta, póngase en contacto con nosotros

Answer 3

Generalizar el problema, cuando $\text{z}\in\mathbb{C}$ y $\text{n}\in\mathbb{R}$ : $$\text{z}^\text{n}=\left(\Re\left[\text{z}\right]+\Im\left[\text{z}\right]i\right)^\text{n}=\left(\left|\text{z}\right|e^{\left(\arg\left(\text{z}\right)+2\pi k\right)i}\right)^\text{n}=\left|\text{z}\right|^\text{n}e^{\text{n}\left(\arg\left(\text{z}\right)+2\pi k\right)i}=$$ $$\left|\text{z}\right|^\text{n}\cos\left(\text{n}\left(\arg\left(\text{z}\right)+2\pi k\right)\right)+\left|\text{z}\right|^\text{n}\sin\left(\text{n}\left(\arg\left(\text{z}\right)+2\pi k\right)\right)i$$ Dónde $\left|\text{z}\right|=\sqrt{\Re^2\left[\text{z}\right]+\Im^2\left[\text{z}\right]}$ , $\arg\left(\text{z}\right)$ es el argumento complejo de $\text{z}$ y $k\in\mathbb{Z}$ .