¿Puede alguien ayudarme con este problema? Si $A\in \mathbb C^{n\times n}$ tiene valores propios distintos. ¿Cómo demuestro que si $Q^*AQ=T$ es la descomposición de Shur y $AB=BA$ entonces $Q^*BQ$ ¿es triangular superior?
Respuesta
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S. Dolan
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El argumento crucial es el siguiente.
Considere cualquier vector propio $\lambda$ de $A$ y el vector propio asociado $v$ . Entonces $$A(Bv)=(AB)v=(BA)v=B(Av)=B(\lambda v)=\lambda(Bv)$$
Por lo tanto $Bv$ es también un vector propio de $A$ asociado a $\lambda$ y así $Bv$ es un múltiplo escalar de $v$ . Así $v$ es también un vector propio de $B$ .
Si se utiliza una base con $v$ como primer elemento, las transformaciones lineales representadas por $A$ y $B$ por lo tanto, todas las entradas de la primera fila serán cero, excepto (posiblemente) la primera entrada, que serán los valores propios respectivos.
A continuación, se puede utilizar un argumento inductivo para completar la prueba.
