Límite superior de una función cóncava no negativa en un intervalo

Question

Sea $f(x)$ sea una función no negativa y superior convexa (cóncava) definida en el intervalo $[a,b]$ . Supongamos que $f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq2$ . Demuestre que $f(x)\leq4$ para todos $x\in[a,b]$ .

¿Cómo puedo mostrar la declaración anterior? Tenga en cuenta que no suponemos $f$ ser continua o diferenciable.

No se me ocurre ningún truco más que utilizar una no negatividad como $$f(x)\leq f(x) + f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq f(x) + 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq f(x) + 4$$ o utilizar un subaditividad en la línea de $$f\left(x+\frac{a+b}{2}\right)\leq f(x) + f\left(\frac{a+b}{2}\right)\leq f(x) + 2$$ que no conduce al límite superior deseado. Se agradecerá una solución completa o al menos una pista.

Answer 1

En el caso $\frac{a+b}{2} \le x \le b$ podemos utilizar la condición de concavidad para $a < \frac{a+b}{2} < x$ lo que da $$ 2 \ge f(\frac{a+b}{2}) \ge \frac{x-(a+b)/2}{x-a}f(a) + \frac{(a+b)/2-a}{x-a} f(x) \, . $$ Ahora usa eso $f(a) \ge 0$ y $x-a \le b-a$ .

Gráficamente: Sea $l$ sea la línea que une $(a, f(a))$ y $(\frac{a+b}{2}, f(\frac{a+b}{2}))$ . Entonces $f(x) \le l(x) \le 4$ para $\frac{a+b}{2} \le x \le b$ .

El caso $a \le x \le \frac{a+b}{2}$ funciona de forma similar, o puede reducirse al primer caso debido a la simetría del problema.