Cómo demostrar que $\inf f(I)>0$ para un intervalo $I$ y una función $f$ con la siguiente propiedad?

Question

Sea $f:\mathbb{R}\longrightarrow (0,\infty)$ sea una función continuamente diferenciable. Supongamos que para un intervalo $I\subset \mathbb{R}$ existe un número $M>0$ tal que para todo $x\in I$ la desigualdad $|f'(x)/f(x)|\leq M$ se cumple. A continuación se pide que se demuestre que $\inf f(I)>0$ .

Ahora bien, si $I$ es un intervalo acotado, es posible demostrar la afirmación utilizando el MVT.

Sin embargo, no puedo demostrarlo si el intervalo $I$ no tiene límites. ¿Cómo debemos proceder para demostrar que $\inf f(I)>0$ Siempre que $I$ ¿es ilimitado?

Answer 1

Tal vez usted ha expresado mal las condiciones anteriores, pero $f(x)=e^{-x}$ con $I=(0,\infty)$ , $M=1$ y $\inf f(I)=0$ debería ser un contraejemplo a su afirmación.

Answer 2

Esto es incorrecto cuando $I$ no tiene límites

Toma $f(x)=e^{-x}$ y $I=(0,\infty)$ .