Así, en un problema dado, busco calcular los residuos de la función
$$f(z) = \frac{cos(z)}{z^2 (z-\pi)^3}$$
en sus singularidades. Me siento bastante débil en este tema, así que quiero volver a comprobar mi metodología y todo eso, y asegurarme de que mi comprensión de las ideas subyacentes está bien.
(Concretamente sólo pido la evaluación de mi solución para uno de los residuos. El proceso sería análogo para los demás, así que no tiene mucho sentido publicar ambos. Si me equivoco con la lógica subyacente a una solución, ambas estarían equivocadas).
Así que, en primer lugar, queremos identificar las dos singularidades. Las singularidades de $f$ están en $z=0$ y $z=\pi$ . Visiblemente, ambos son polos, el primero de orden $2$ y este último de orden $3$ .
De hecho, este es uno de mis puntos conflictivos. En una función como esta, ¿es suficiente mirar el exponente de la $z$ y $(z-\pi)$ términos y que sean los órdenes respectivos de los polos correspondientes? Para mí es un punto un poco dudoso.
En general, si buscamos el residuo $a_{-1}^\ast$ en algún polo $z=z_\ast$ de orden $k$ tenemos la relación
$$a_{-1}^\ast = \left. \frac{1}{(k-1)!} \cdot \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} (z-z_\ast)^k \cdot f(z) \right|_{z=z_\ast}$$
Así que primero consideramos la singularidad $z=0$ que es de orden $2$ . Entonces:
$$a_{-1}^{(0)} = \left. \frac{1}{(2-1)!} \cdot \frac{d^{2-1}}{dz^{2-1}} (z-0)^2 \cdot \frac{cos(z)}{z^2 (z-\pi)^3} \right|_{z=0} = \left. \frac{d}{dz} \frac{cos(z)}{(z-\pi)^3} \right|_{z=0}$$
Desde
$$\frac{cos(z)}{(z-\pi)^3} = cos(z) \cdot (z-\pi)^{-3}$$
la derivada viene dada por la regla del producto:
$$\frac{d}{dz} \frac{cos(z)}{(z-\pi)^3} = -sin(z) \cdot (z-\pi)^{-3} + cos(z)(-3)(z-\pi)^{-4} = -\frac{sin(z)}{(z-\pi)^{3}} - \frac{3 \cdot cos(z)}{(z-\pi)^4}$$
Evaluar esto en $z=0$ se obtiene finalmente
$$a_{-1}^{(0)} = -\frac{3}{\pi^4}$$
(Y, por supuesto, se sigue un proceso análogo para el $z=\pi$ singularidad. Como ya he dicho, no lo incluyo por brevedad, ya que el proceso subyacente sería el mismo).
WolframAlpha ha confirmado esta solución ( como se ve aquí) ) para este residuo, pero sólo quería estar seguro de que mi metodología era correcta (podría ser una coincidencia), y tal vez recibir aclaraciones sobre el punto conflictivo señalado anteriormente.
