Versiones de juego del número de la torre $\mathfrak t$

Question

Recordemos que $\mathfrak t$ es el cardinal más pequeño $\kappa$ para la que existe una familia $(T_\alpha)_{\alpha\in\kappa}$ de subconjuntos infinitos de $\omega$ tal que

$\bullet$ para cualquier ordinal $\alpha\le\beta<\lambda$ tenemos $T_\beta\subseteq^* T_\alpha$ ;

$\bullet$ para cualquier conjunto infinito $I\subseteq \omega$ existe $\alpha\in\kappa$ tal que $I\not\subseteq^* T_\alpha$ .

Aquí para dos conjuntos $A,B$ escribimos $A\subseteq^* B$ si $A\setminus B$ es finito.

Ahora bien, dado un ordinal infinito $\kappa$ consideremos la juego de torre de longitud $\kappa$ jugado por dos jugadores $I$ y $J$ que construyen dos secuencias transfinitas de conjuntos $(I_\alpha)_{\alpha\le\kappa}$ y $(J_\alpha)_{\alpha\le\kappa}$ por las siguientes reglas.

El jugador $I$ inicia el juego seleccionando un conjunto contable inifinito $I_0$ y el jugador $J$ respuestas con un conjunto infinito $J_0\subseteq I_0$ . En el $\alpha$ -th inning el jugador $I$ selecciona un conjunto infinito $I_\alpha$ tal que $I_\alpha\subseteq^* J_\beta$ para cada ordinal $\beta<\alpha$ . Si tal conjunto infinito $I_\alpha$ no existe, entonces el jugador $I$ se ve obligado a poner $I_\alpha=\emptyset$ . El jugador $J$ respuestas seleccionando un subconjunto $J_\alpha\subseteq I_\alpha$ de cardinalidad $|J_\alpha|=|I_\alpha|$ . Al final de la partida, el jugador $I$ es declarado ganador si $I_\kappa\ne\emptyset$ . Si $I_\kappa=\emptyset$ entonces el jugador $J$ gana el partido.

Sea $\mathfrak t_I$ (resp. $\mathfrak t_J$ ) sea el ordinal más pequeño $\kappa$ para el que el jugador $I$ no tiene estrategia ganadora (resp. el jugador $J$ tiene una estrategia ganadora) en el juego de torres de longitud $\kappa$ .

Es fácil ver que $\mathfrak t\le \mathfrak t_I\le\mathfrak t_J\le\mathfrak c^+$ .

Problema 1. Es $\mathfrak t_I\le\mathfrak c$ ? $\mathfrak t_J\le\mathfrak c$ ?

Problema 2. ¿Es la desigualdad estricta $\mathfrak t<\mathfrak t_J$ (resp. $\mathfrak t<\mathfrak t_I$ o $\mathfrak t_I<\mathfrak t_J$ ) ¿coherente?

Answer 1

Para el problema 1: sí, $\mathfrak{t}_I \leq \mathfrak{t}_J \leq \mathfrak{c}$ .

Para forzar el final del juego por pasos $\mathfrak{c}$ , jugador $J$ puede comenzar con una enumeración $\langle A_\alpha :\, \alpha < \mathfrak{c} \rangle$ de todos los subconjuntos de $\omega$ . En movimiento $\alpha$ , jugador $J$ selecciona un conjunto $J_\alpha$ que esté contenida o sea disjunta de $A_\alpha$ . Por ronda $\mathfrak{c}$ esto significa que ningún conjunto infinito $I$ puede estar contenida en todos los $J_\alpha$ 's: hay algunos $\alpha < \mathfrak{c}$ donde $A_\alpha$ "divisiones" $I$ lo que significa que tanto $A_\alpha \cap I$ y $I \setminus A_\alpha$ son infinitas, y en ese momento el jugador $J$ jugado para garantizar que $I$ no está contenido en $J_\alpha$ .

De hecho, este argumento demuestra que $\mathfrak{t}_I \leq \mathfrak{t}_J \leq \mathfrak{s}$ donde $\mathfrak{s}$ denota el número de división. (Una versión diferente del argumento podría mejorar esto a $\mathfrak{h}$ en realidad). Esto sugiere que para el problema 2, deberíamos buscar un modelo en el que $\mathfrak{t} < \mathfrak{s}$ (o $\mathfrak{h}$ ). El modelo Mathias es un candidato natural.