¿Cómo resuelvo la ecuación diferencial?.

Question

¿Cómo resuelvo la ecuación diferencial?. $$ (2x+2xy^2)dx+(x^2y+2y+3y^3)dy=0 $$ Determino el factor de integración $$ \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} $$ pero me he confundido con el siguiente paso, ¿está bien este procedimiento?

[ Mi ejercicio ]

Answer 1

Sí, el procedimiento es correcto. Para verificar tu trabajo, primero reescribo la ecuación como $2x(1+y^2)\mathrm{d}x+[yx^2+(2y+3y^3)]\mathrm{d}y=0$ . Utilizando el factor integrador $\frac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ se obtiene $2x\sqrt{1+y^2}\mathrm{d}x+\left[\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}x^2+\frac{2y+3y^3}{\sqrt{1+y^2}}\right]\mathrm{d}y=0$ . Ahora es fácil comprobar que $\partial_y(2x\sqrt{1+y^2})=\partial_x\left(\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}x^2+\frac{2y+3y^3}{\sqrt{1+y^2}}\right)=\frac{2xy}{\sqrt{1+y^2}}$ ya que el primero simplemente evalúa $$\frac{\mathrm{d}\sqrt{1+y^2}}{\mathrm{d}y}$$ y la segunda es simplemente evaluar $$\frac{\mathrm{d}x^2}{\mathrm{d}x}.$$