Cohomología de grupos libres y de superficie

Question

¿Cuál es una buena referencia para los resultados sobre cohomología de grupos libres de rango finito y grupos de superficie con coeficientes de anillo de grupo?

Me interesa el caso en el que el grupo actúa sobre su anillo de grupo mediante conjugación. En particular, como en el caso de los grupos libres, me interesa saber cómo se relacionan la primera cohomología del grupo y sus subgrupos de índice infinito (cuán grande es el núcleo del mapa de restricción). ¿Existen formas explícitas de encontrar estos núcleos (quizás en algunos casos especiales)? ¿Y también qué se sabe de los grupos de cohomología de grupos de superficies compactas (de nuevo con coeficientes de anillo de grupo y acción por conjugación)? ¿Qué relaciones entre la cohomología de un grupo libre y la cohomología de un grupo de superficies se pueden derivar de considerar este grupo de superficies como un grupo cociente del grupo libre correspondiente?

No sé mucho sobre el tema, pero sería muy útil tener una visión completa de estas cosas antes de leer pruebas abstractas.

Añadido el 02.03.2012:

Bueno, no sé por qué decidí restringirme sólo a subgrupos normales de un grupo libre (ver comentario más abajo). En realidad, sería interesante obtener cualquier información sobre subgrupos que no sean normales también. Inicialmente, me interesaba una cuestión que podía formularse en términos de teoría de grupos, pero la propia cuestión (o más bien su versión infinitesimal) me llevó a la cohomología.

Tratando de cohomología, mi primer deseo como novato era ver alguna buena correspondencia entre subgrupos de un grupo libre y núcleos de restricciones. Muy pronto descubrí que esto dista mucho de ser una correspondencia de Galois. Muchos subgrupos tienen el mismo núcleo de restricción y tales subgrupos pueden incluso no ser conmensurables.

Answer 1

En cuanto a su pregunta sobre la relación entre la cohomología del grupo libre y el grupo de superficie:

Sea $F$ ser un grupo libre, $N \trianglelefteq F$ y $M$ un $F/N$ -módulo. Consideremos $M$ como $F$ -módulo vía $F \to F/N$ . Entonces la secuencia exacta de siete términos produce la secuencia exacta $$0 \to H^1(F/N;M) \xrightarrow[]{inf} H^1(F\;;M) \xrightarrow[]{res}H^1(N;M).$$ Así $H^1(F/N;M)$ es un subgrupo de $H^1(F\;;M)$ es decir, el núcleo de la restricción o la imagen de la inflación.

Si interpretamos $H^1(F\;;M)$ en términos de derivaciones, entonces $H^1(F/N;M)$ consiste en aquellas clases que están representadas por derivaciones $F \to M$ tal que $f|N = 0$ . Además, si $N$ es el cierre normal de $R \subseteq F$ entonces $f|N = 0$ es equivalente a $f|R=0$ .

Por ejemplo: $F=F_{2n}$ y $R=\lbrace [x_1,x_2] \cdots [x_{2n-1},x_{2n}]\rbrace$ es decir $F/N$ es el grupo fundamental de una superficie orientada cerrada de género $n$ . Toma $\mathbb{Z}$ -con acción trivial. Ahora las derivaciones son lineales y por lo tanto desaparecen en los conmutadores. En consecuencia $H^1(F/N; \mathbb{Z}) = H^1(F\;;\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^{2n}$ . (También se puede obtener una fórmula para los coeficientes generales, pero no es muy práctica).

Sobre el homomorfismo de restricción de un grupo libre: Por el teorema de Nielsen-Schreier, un subgrupo de un grupo libre vuelve a ser libre. Esto reduce el problema de calcular la restricción entre dos grupos libres. Esto se puede hacer fácilmente utilizando las resoluciones libres de Brown, I (4.4) y calculando un mapa en cadena entre las resoluciones. Como supongo que usted está interesado principalmente en grupos de superficie que pueden ser tratados con la ayuda del documento de Lyndon o por el método anterior, dejo de lado los detalles.